[論文レビュー] On a relativistic Fokker-Planck equation in kinetic theory

José Antonio Alcántara Felix, Simone Calogero|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2010

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、摩擦がない場合にローレンツ不変性を保つ相対論的フォッカー・プランク方程式を導入し、厳密に分析しており、有限な信号伝播速度を保証する。これは相対論的整合性において重要である。プラズマおよび重力的平均場モデルの両方において、すべての質量に対して定常状態の存在を確立し、非相対論的対応物では小質量でのみ存在が知られていることと比較して、より優れた結果を得ている。

ABSTRACT

A relativistic kinetic Fokker-Planck equation that has been recently proposed in the physical literature is studied. It is shown that, in contrast to other existing relativistic models, the one considered in this paper is invariant under Lorentz transformations in the absence of friction. A similar property (invariance by Galilean transformations in the absence of friction) is verified in the non-relativistic case. In the first part of the paper some fundamental mathematical properties of the relativistic Fokker-Planck equation are established. In particular, it is proved that the model is compatible with the finite propagation speed of particles in relativity. In the second part of the paper, two non-linear relativistic mean-field models are introduced. One is obtained by coupling the relativistic Fokker-Planck equation to the Maxwell equations of electrodynamics, and is therefore of interest in plasma physics. The other mean-field model couples the Fokker-Planck dynamics to a relativistic scalar theory of gravity (the Nordström theory) and is therefore of interest in gravitational physics. In both cases the existence of steady states for all possible prescribed values of the mass is established. In the gravitational case this result is better than for the corresponding non-relativistic model, the Vlasov-Poisson-Fokker-Planck system, for which existence of steady states is known only for small mass.

研究の動機と目的

• 摩擦が存在しない場合にローレンツ不変性を保つ相対論的フォッカー・プランク方程式を確立すること。これは非相対論的状況におけるギャリレオ不変性に類似する。
• モデルが粒子の有限伝播速度を尊重することを保証し、古典的フォッカー・プランク方程式に見られる即時拡散問題と矛盾しないようにすること。
• マクスウェル電磁力学（プラズマ物理学）およびノルストローム重力（重力物理学）に結合する非線形平均場系へのモデルの拡張。
• 両方の相対論的平均場モデルにおいて、すべての指定された質量値に対して定常状態解の存在を証明すること。
• 非相対論的ヴラソフ＝ポアソン＝フォッカー・プランク系では小質量でのみ定常状態が保証されるのに対し、相対論的モデルがその制限を克服することを示すこと。

提案手法

• 相対論的速度 $\hat{p} = p / \sqrt{1 + |p|^2}$ と相対論的拡散行列 $D = (I + p \otimes p)/\sqrt{1 + |p|^2}$ を用いた相対論的フォッカー・プランク方程式を採用し、特殊相対性理論との物理的整合性を確保する。
• 相対論的運動量および速度の変換性質を用いて、摩擦なしの条件下での方程式のローレンツ不変性を証明する。
• フリーツ・ジョンの手法に基づく一般化された一意性議論を適用し、有限伝播速度を示す。具体的には、初期データがコンパクトに台を持つ場合、解が相対論的光円錐の外側で常にゼロのまま保たれることを示す。
• 非線形平均場モデルを二つ導入する：一つはプラズマ物理学のためのマクスウェル方程式へのフォッカー・プランク方程式の結合、もう一つは重力物理学のためのノルストロームのスカラー重力理論への結合。
• 重み付き $L^2$ 評価およびスペクトル論を含む関数解析的技法を用いて、ダイナミクスを制御し、定常状態の存在を証明する。
• 誤差項を制御するために切断関数 $\phi_k$ とヤングの不等式を用い、エネルギー推定において解が適切な極限下で必ずゼロになるという結論に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 提案された相対論的フォッカー・プランク方程式は、摩擦がない場合にローレンツ不変性を保つのか。これは非相対論的状況におけるギャリレオ不変性に類似する。
• RQ2 モデルは粒子の有限伝播速度を尊重できるのか。これにより、古典的フォッカー・プランク方程式に見られる即時拡散問題を回避できるか。
• RQ3 マクスウェル方程式に結合された相対論的平均場モデルは、プラズマ物理学においてすべての指定された質量値に対して定常状態解を有するのか。
• RQ4 ノルストロームのスカラー重力に結合された相対論的平均場モデルは、重力物理学においてすべての指定された質量値に対して定常状態解を有するのか。
• RQ5 この相対論的モデルにおける定常状態の存在理論は、非相対論的ヴラソフ＝ポアソン＝フォッカー・プランク系と比較して、質量制約の面でどのように異なるのか。

主な発見

• 摩擦が存在しない場合に、相対論的フォッカー・プランク方程式はローレンツ不変性を保つ。これは特殊相対性理論との整合性を確認する。
• 方程式の解は有限伝播速度を示す。初期データが位置空間でコンパクトに台を持つ場合、解は相対論的光円錐の外側で常にゼロのまま保たれる。
• マクスウェル方程式に結合された非線形相対論的平均場モデルは、すべての指定された質量値に対して定常状態解を有する。
• ノルストロームのスカラー重力に結合された非線形相対論的平均場モデルも、すべての指定された質量値に対して定常状態解を有する。これは非相対論的ヴラソフ＝ポアソン＝フォッカー・プランク系よりも強い結果であり、後者では小質量でのみ存在が保証されている。
• 定常状態の存在証明は、切断関数とヤングの不等式を用いた新しいエネルギー推定に依拠しており、最終的に解が適切な極限下で必ずゼロになることを示す。
• モデルは構成上、古典的フォッカー・プランク方程式の非物理的な無限速度拡散を回避し、相対論的因果律と整合性を保っている。