[論文レビュー] On a remarkable semigroup of homomorphisms with respect to free multiplicative convolution

Serban T. Belinschi, Alexandru Nica|ArXiv.org|Mar 10, 2007

Random Matrices and Applications参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{B}_t$ と表記される、$\mathbb{R}$ 上のボレル確率測度の空間上の、自由加法的およびボレル結合を介して定義される、変換の新しい半群を導入する。この半群 $\mathbb{B}_t$ は合成に関して連続な半群をなし、自由乗法的結合に関して準同型として作用することが証明されている。$\mathbb{B}_1$ はボレル・ベルコビチ＝パータの双対写像と一致しており、これによりすべての $t \geq 1$ および $\mathcal{M}$ 内の $\mu$ に対して $\mathbb{B}_t(\mu)$ が $\boxplus$-無限に可分であることが示された。これは自由確率論における演算と無限可分性の間の新たな関係を確立する。

ABSTRACT

Let M denote the space of Borel probability measures on the real line. For every nonnegative t we consider the transformation $\mathbb B_t : M o M$ defined for any given element in M by taking succesively the the (1+t) power with respect to free additive convolution and then the 1/(1+t) power with respect to Boolean convolution of the given element. We show that the family of maps {\mathbb B_t|t\geq 0} is a semigroup with respect to the operation of composition and that, quite surprisingly, every $\mathbb B_t$ is a homomorphism for the operation of free multiplicative convolution. We prove that for t=1 the transformation $\mathbb B_1$ coincides with the canonical bijection $\mathbb B : M o M_{inf-div}$ discovered by Bercovici and Pata in their study of the relations between infinite divisibility in free and in Boolean probability. Here M_{inf-div} stands for the set of probability distributions in M which are infinitely divisible with respect to free additive convolution. As a consequence, we have that $\mathbb B_t(μ)$ is infinitely divisible with respect to free additive convolution for any for every $μ$ in M and every t greater than or equal to one. On the other hand we put into evidence a relation between the transformations $\mathbb B_t$ and the free Brownian motion; indeed, Theorem 4 of the paper gives an interpretation of the transformations $\mathbb B_t$ as a way of re-casting the free Brownian motion, where the resulting process becomes multiplicative with respect to free multiplicative convolution, and always reaches infinite divisibility with respect to free additive convolution by the time t=1.

研究の動機と目的

• ボレル確率測度の空間上に、自由確率論における主要な演算を保存する連続的一般化変換族 $\u005cmathbb{B}_t$ を構成すること。
• 合成に関して $\mathbb{B}_t$ が半群をなすこと、および自由乗法的結合 $\u005cboxtimes$ に関して準同型として作用することを確立すること。
• $\mathbb{B}_1$ がボレル・ベルコビチ＝パータの双対写像に一致することを特定し、これにより変換が $\boxplus$-無限可分性理論と結びつくようにすること。
• $\mathbb{B}_t$ と自由ブラウン運動との関係を調査し、$\u005cboxtimes$ に関して乗法的になること、および $t=1$ で $\boxplus$-無限可分性に達することを示すこと。

提案手法

• 自由加法的結合 $\u005cboxplus$ およびボレル結合 $\u005cuplus$ を用いて、$\mu \in \u005c generally{M}$ および $t \geq 0$ に対して $\u005cmathbb{B}_t(\mu) = \left(\mu^{\u005cboxplus(1+t)}\right)^{\u005cuplus(1/(1+t))}$ と定義する。
• 合成に関して $\u005cmathbb{B}_s \circ \u005cmathbb{B}_t = \u005cmathbb{B}_{s+t}$ が成り立つことを証明し、半群性を確立する。
• 任意の $\mu \in \u005c generally{M}$、$\nu \in \u005c generally{M}_+$ に対して $\u005cmathbb{B}_t(\mu \boxtimes \nu) = \u005cmathbb{B}_t(\mu) \boxtimes \u005cmathbb{B}_t(\nu)$ が成り立つことを示し、$\u005cboxtimes$ に関して準同型であることを確認する。
• $\u005cmathbb{B}_1$ が標準的なボレル・ベルコビチ＝パータの双対写像 $\u005cmathbb{B}: \u005c generally{M} \to \u005c generally{M}_{\u005cmathrm{inf-div}}$ と一致することを示し、変換が無限可分性と結びつくことを示す。
• 半群性および準同型性の性質を用いて、すべての $t \geq 1$ および $\mu \in \u005c generally{M}$ に対して $\u005cmathbb{B}_t(\mu)$ が $\u005cboxplus$-無限に可分であることを示す。
• $\u005cmathbb{B}_t$ を自由ブラウン運動の再パrameter化と解釈し、$\u005cboxtimes$ に関して乗法的になり、$t=1$ で $\u005cboxplus$-無限可分性に達することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由乗法的結合 $\u005cboxtimes$ に関して準同型であるような、$\u005c generally{M}$ 上の連続的半群変換が存在するか？
• RQ2 このような半群が、自由加法的結合およびボレル結合のみを用いて構成可能か？
• RQ3 変換 $\u005cmathbb{B}_1$ はボレル・ベルコビチ＝パータの双対写像に等しいか？
• RQ4 すべての $t \geq 1$ および $\mu \in \u005c generally{M}$ に対して $\u005cmathbb{B}_t(\mu)$ が $\u005cboxplus$-無限可分性を満たすか？
• RQ5 変換 $\u005cmathbb{B}_t$ は自由ブラウン運動のダイナミクスとどのように関係しているか？

主な発見

• $\u005cmathbb{B}_t(\mu) = \left(\mu^{\u005cboxplus(1+t)}\right)^{\u005cuplus(1/(1+t))}$ は、合成に関して連続な半群を定義する：すべての $s,t \geq 0$ に対して $\u005cmathbb{B}_s \circ \u005cmathbb{B}_t = \u005cmathbb{B}_{s+t}$。
• $\u005cmathbb{B}_t$ は自由乗法的結合に関して準同型である：$\mu \in \u005c generally{M}$、$\nu \in \u005c generally{M}_+$ に対して $\u005cmathbb{B}_t(\mu \boxtimes \nu) = \u005cmathbb{B}_t(\mu) \boxtimes \u005cmathbb{B}_t(\nu)$。
• $\u005cmathbb{B}_1$ はボレル・ベルコビチ＝パータの双対写像 $\u005cmathbb{B}$ と一致する。この写像は $\u005c generally{M}$ を $\u005cboxplus$-無限に可分測度の集合 $\u005c generally{M}_{\u005cmathrm{inf-div}}$ に双対的に写像する。
• 任意の $\mu \in \u005c generally{M}$ および $t \geq 1$ に対して、測度 $\u005cmathbb{B}_t(\mu)$ は $\u005cboxplus$-無限に可分である。これは $\u005cmathbb{B}_1$ が $\u005c generally{M}_{\u005cmathrm{inf-div}}$ への双対写像であり、半群性が成り立つことによる。
• $\u005cmathbb{B}_t$ は、$\u005cboxtimes$ に関して乗法的になる自由ブラウン運動の再パラメータ化を提供する。$t=1$ で $\u005cboxplus$-無限可分性に達する。
• 任意の $\mu \in \u005c generally{M}$ で $\phi(\mu) < \infty$ を満たすものに対して、任意の $t > 0$ に対して $\mathbb{B}_t(\nu) = \mu$ を満たす $\nu \in \u005c generally{M}$ が存在する。これは $t > 0$ のとき $\u005cmathbb{B}_t$ がその像上へ全射であることを示唆する。