[論文レビュー] On a response formula and its interpretation

Christian Maes, Bram Wynants|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2009

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する摂動（振幅 $h_t$ を持つポテンシャル $V$ による）を導入することで、非平衡マコフ遷移過程へのフラクチュアーション・ドレイン理論の一般化を試みる。主な貢献は、非平衡定常状態においても reciprocity 対称性を示す線形応答関係を確立したことであり、その解釈は動的フラクチュアーション理論における脱出率関数 $I(\mu)$ を通じてなされ、状態停留時間の確率的変動と結びつけられる。

ABSTRACT

We present a physically inspired generalization of equilibrium response formulae, the fluctuation-dissipation theorem, to Markov jump processes possibly describing interacting particle systems out-of-equilibrium. Here, the time-dependent perturbation adding a potential V with small amplitude h(t) changes the rates W(x,y) for the transition x --> y into W_t(x,y) = W(x,y) exp {h(t)[bV(y)-aV(x)]} as first considered by Diezemann; a,b are constants. We observe that the linear response relation shows a reciprocity symmetry in the nonequilibrium stationary regime and we interpret the connection with dynamical fluctuation theory.

研究の動機と目的

• マコフ遷移過程における非平衡定常状態への平衡フラクチュアーション・ドレイン定理の拡張を目的とする。
• 小振幅 $h_t$ を持つポテンシャル $V$ で記述される時間に依存する摂動下における系の線形応答を調査すること。
• 平衡状態の関係を一般化した非平衡応答関数における reciprocity 対称性を確立すること。
• 応答形式を動的フラクチュアーション理論、特に大偏差関数 $I(\mu)$ を通じて結びつけること。
• 非摂動系における経験的停留時間測度のフラクチュエーション確率の観点から応答を解釈すること。

提案手法

• Diezemann の手法を一般化し、遷移率を $W_t(x,y) = W(x,y) \exp[h_t(bV(y) - aV(x))]$ として時間に依存する摂動を導入する。
• 小パrameter $h_t$ における一次摂動論を用いて、線形応答関数 $R_{QV}^{\text{eq}}(t,s)$ を導出する。
• 随伴生成子 $L^*$ と後向きコルモゴロフ方程式を用い、応答を時間発展した観測量の形で表現する。
• 非平衡応答を、$I(\mu) = -\inf_g \sum_x \mu(x) \frac{Lg}{g}(x)$ で定義される動的フラクチュエーション関数 $I(\mu)$ と関連付ける。
• 定常摂動 $V$ の下での $I(\mu)$ の一次補正を計算し、$I(\mu) = -\frac{bh}{4} \sum_x \mu(x) LV(x) + o(h^2)$ を得る。
• 観測量の応答と非摂動系における大偏差確率の間の双対性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非平衡マコフ遷移過程の線形応答は、時間に依存する摂動 $h_t$ とポテンシャル $V$ にどのように依存するか？
• RQ2 平衡状態と同様に、非平衡定常状態における応答関数に reciprocity 対称性が存在するか？
• RQ3 非平衡応答は、特に経験的停留時間の確率的変動（大偏差確率）の観点から解釈可能か？
• RQ4 応答関数とフラクチュエーション関数 $I(\mu)$ の中での脱出率 $LV(x)$ の間の定量的関係は何か？
• RQ5 摂動によって誘導される定常測度 $\mu$ は、非摂動系における同じ測度のフラクチュエーション確率とどのように関係するか？

主な発見

• 線形応答関数は、非平衡定常状態において reciprocity 対称性を示し、平衡状態の詳細つり合い条件を一般化する。
• 摂動下での応答は $\langle Q(t)\rangle^h = \langle Q(t)\rangle_{\text{eq}} + \int_0^t ds\, h_s R_{QV}^{\text{eq}}(t,s) + o(h)$ として表され、$R_{QV}^{\text{eq}}(t,s)$ は随伴生成子 $L^*$ を含む。
• 応答式の第二項 $-b \sum_x \rho(x) V(x) L^* e^{(t-s)L} Q(x)$ は、一般化された脱出率との相関として解釈され、応答と動的フラクチュエーションを結びつける。
• 動的フラクチュエーション関数 $I(\mu)$ は $I(\mu) = -\frac{bh}{4} \sum_x \mu(x) LV(x) + o(h^2)$ を満たし、応答が摂動下での脱出率の変化と直接的に関連していることを示す。
• 定常測度 $\mu$ を誘導するポテンシャル $V$ は、非摂動系において $\mu$ が典型的なフラクチュエーションとなるように作用し、応答とフラクチュエーションの間の双対性を確立する。
• 形式的枠組みにより、系の応答が摂動に対して定量的に、非摂動系において同じ定常状態が希少なフラクチュエーションとして観測される確率と結びついていることが確認される。