[論文レビュー] On a Ring of Formal Pseudo-differential Operators

A. N. Parshin|ArXiv.org|Nov 14, 1999

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 6被引用数 41

ひとこと要約

本稿は、体 $ k $ 上の反復ローレンツ級数環として構成された $ n $ 変数の形式的擬微分作用素の非可換斜体 $ P $ を導入する。$ P $ は $ 2n $ 次元の局所体であり、自然なフィルトレーションと順序構造を持つ。本稿では、$ P^n $ 上へのカドムツェフ＝ペトビアシュヴィリ（KP）階層の一般化を実現し、保存則やゼロ曲率形式といった主要な性質を、ポisson構造と $ P^n $ 上のハミルトニアン系を介して保持する。主な貢献は、明示的なハミルトニアン力学を伴う非可換かつ高次元の擬微分作用素環への可積分系の拡張である。

ABSTRACT

We study the notion of non-commumative higher dimensional local fields. A simplest example is the ring P of formal pseudo- differential operators. As an application we extend the KP hierarchy to the space $P^n$.

研究の動機と目的

• $ n $ 変数の形式的擬微分作用素の非可換斜体 $ P $ を、$ 2n $ 次元の局所体として定義し、可換局所体の概念を非可換設定に拡張すること。
• Ring $ P $ 及びその部分環 $ E $ の代数的構造を確立し、順序によるフィルトレーションおよび直和分解 $ P = P_+ + P_- $ を含む。
• KP階層を $ P^n $ 上に一般化し、保存則やゼロ曲率表現といった可積分性の特徴を保持すること。
• $ P^n $ 上に自然なポアソン構造を定義し、一般化されたKP階層がこの構造に関してハミルトニアンであることを示すこと。
• $ P $ の代替的分解の可能性と、それらがハミルトニアン系に与える影響を検討すること。

提案手法

• 変数 $ x_i $ および逆微分作用素 $ \partial_i^{-1} $ を用いた反復ローレンツ級数環として、$ P = k((x_1))\cdots((x_n))((\partial_1^{-1}))\cdots((\partial_n^{-1})) $ を構成し、積をライブニッツの法則と二項係数を用いて定義する。
• 作用素 $ L \in P $ の順序 $ \text{ord}(L) $ を定義し、これを用いて減少フィルトレーション $ P_i = \{ L \in P \mid \text{ord}(L) \leq i \} $ を定義する。
• $ P_+ $ が非負の順序項を含み、$ P_- $ が負の順序項を含む直和分解 $ P = P_+ \oplus P_- $ を導入し、射影作用素 $ (\cdot)_+ $ および $ (\cdot)_- $ を可能にする。
• 作用素 $ P $ 上に残留汎関数 $ \text{res}_P $ を定義し、これは $ \partial^{-1} $ の係数を抽出する。これを用いて、公式 $ \{F, G\}(L) = \text{res}_P(\langle L, [\nabla F(L), \nabla G(L)] \rangle) $ を用いてポアソン括弧を構成する。
• $ P^n $ 上のハミルトニアン系を関数 $ H_m $ を用いて構成し、$ L_i $ の時間発展が $ \frac{\partial L_i}{\partial t_m} = m_i \left[ (L_1^{m_1} \cdots L_i^{m_i - 1} \cdots L_n^{m_n})_+, L_i \right] $ で与えられることを示す。
• 関数 $ H_m $ が保存量であることを証明し、多様体 $ P' $ 上で相互のポアソン括弧 $ \{H_m, H_{m'}\}_R $ が消えることを示し、可積分性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換な状況から非可換な設定への一般化として、$ n $ 変数の形式的擬微分作用素を用いてKP階層を一般化することは可能か？
• RQ2 $ n $ 変数の形式的擬微分作用素の環 $ P $ は、フィルトレーション、順序、分解といった観点で、どのような代数的・幾何的構造を持つのか？
• RQ3 $ P^n $ 上の一般化されたKP階層は、保存則やゼロ曲率表現といった基本的な可積分性の特徴を保持するか？
• RQ4 $ P^n $ 上に自然なポアソン構造が存在し、一般化されたKP階層をそれに関してハミルトニアンにすることができるか？また、その構造は明示的に構成可能か？
• RQ5 例えば $ P = xk[[x]]((\partial^{-1})) + k[x^{-1}]((\partial^{-1})) $ のような代替的分解が存在し、それらが新たなハミルトニアン系と異なる力学をもたらす可能性はあるか？

主な発見

• $ P = k((x_1))\cdots((x_n))((\partial_1^{-1}))\cdots((\partial_n^{-1})) $ は、形式的擬微分作用素の非可換斜体であり、中心に関して無限次元の $ 2n $ 次元の局所体をなす。
• 順序関数 $ \text{ord}(L) $ は減少フィルトレーション $ P_i $ を定義し、分解 $ P = P_+ \oplus P_- $ を通じて射影作用素 $ (\cdot)_+ $ および $ (\cdot)_- $ を可能にし、ハミルトニアン力学を定義する上で不可欠である。
• 一般化されたKP階層は、残留汎関数を用いて定義されたポアソン構造に関してハミルトニアンであり、作用素 $ L_i $ の時間発展は $ \frac{\partial L_i}{\partial t_m} = m_i \left[ (L_1^{m_1} \cdots L_i^{m_i - 1} \cdots L_n^{m_n})_+, L_i \right] $ で与えられる。
• 関数 $ H_m $ は保存量であり、それらの相互のポアソン括弧は $ P' $ 上で消えるため、系の可積分性が保証される。
• ゼロ曲率表現はザハロフ＝サバット方程式として保存され、一般化された力学のもとでも無限個の保存則が維持される。
• 代替的分解 $ P = xk[[x]]((\partial^{-1})) + k[x^{-1}]((\partial^{-1})) $ が同定され、未だ研究されていない新たなハミルトニアン系の可能性を示唆している。