[論文レビュー] On a SAV-MAC scheme for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes Phase Field Model

Xiaoli Li, Jie Shen|arXiv (Cornell University)|May 21, 2019

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Cahn-Hilliard-Navier-Stokes相場モデルに対して、時間方向にスカラーアシスタント変数（SAV）アプローチを、空間方向にMAC（マーカーおよびセル）有限差分法を組み合わせた、新しいSAV-MAC有限差分スキームを提案する。このスキームは線形であり、時間および空間で2次精度を達成し、無条件エネルギー安定性を満たし、計算的に効率的に実装可能であり、非線形ポテンシャルに一様リプシッツ条件を仮定しないで、相場変数、化学ポテンシャル、速度、圧力の両方で、初めての厳密な2次誤差推定値を確立した。

ABSTRACT

We construct a numerical scheme based on the scalar auxiliary variable (SAV) approach in time and the MAC discretization in space for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes phase field model, and carry out stability and error analysis. The scheme is linear, second-order, unconditionally energy stable and can be implemented very efficiently. We establish second-order error estimates both in time and space for phase field variable, chemical potential, velocity and pressure in different discrete norms. We also provide numerical experiments to verify our theoretical results and demonstrate the robustness and accuracy of the our scheme.

研究の動機と目的

• Cahn-Hilliard-Navier-Stokes相場モデルに対して、離散レベルでエネルギー法則を保存する完全離散数値スキームの構築を目的とする。
• 既存の凸分割法や安定化線形陰解法の限界を克服する。これらは非線形系を生じるか、2次エネルギー安定性を欠く。
• 計算的に効率的で、長時間シミュレーションに適した、線形で2次精度、無条件エネルギー安定なスキームの構築を目的とする。
• 非線形ポテンシャルに一様リプシッツ条件を仮定しないで、Cahn-Hilliard-Stokes系に完全離散線形スキームを適用する場合に、時間および空間で初めての厳密な2次誤差推定値を確立することを目的とする。

提案手法

• 時間方向にスカラーアシスタント変数（SAV）アプローチを用いることで、非線形系を分離し、線形で2次精度、無条件エネルギー安定な時間離散化を達成する。
• 空間離散化は、発散自由な速度場を保証し、圧力と速度の整合性を確保する、ステガードグリッド上のMAC（マーカーおよびセル）有限差分法を用いる。
• SAVアプローチにより、元の系を定数係数を持つ新たな系に変換し、各時間ステップで分離された線形系を逐次解くことで、効率的な解法が可能になる。
• 離散エネルギー安定性は、連続系のエネルギー散逸構造を模倣する離散エネルギー法則を構築することで証明する。
• エネルギー技法、離散ソボレフ不等式、さまざまな離散ノルムにおける安定性推定値を組み合わせて、誤差推定値を導出する。
• 均一な直角座標グリッドを用い、境界条件を一貫して取り扱い、変数をステガード配置する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SAVアプローチを用いて、Cahn-Hilliard-Navier-Stokes相場モデルに線形で2次精度、無条件エネルギー安定なスキームを構築できるか？
• RQ2 相場変数、化学ポテンシャル、速度、圧力の各変数について、異なる離散ノルムで、厳密な2次誤差推定値を確立できるか？
• RQ3 提案されたSAV-MACスキームは、無条件エネルギー安定性を維持しながら、計算効率も確保できるか？
• RQ4 非線形ポテンシャルに一様リプシッツ条件を仮定しないで、誤差解析を実施できるか？

主な発見

• 提案されたSAV-MACスキームは、適切な離散ノルムにおいて、相場変数、化学ポテンシャル、速度、圧力の両方で、時間および空間で2次精度を達成する。
• このスキームは無条件エネルギー安定であり、時間ステップ制限なしに、連続系のエネルギー散逸法則を離散レベルで保存する。
• SAV再定式化のおかげで、線形かつ分離可能となり、各時間ステップで線形系を逐次解くことで、効率的な解法が可能になる。
• 非線形ポテンシャルに一様リプシッツ条件を仮定しないで、Cahn-Hilliard-Stokes系に完全離散線形スキームを適用する場合に、初めての厳密な2次誤差推定値が確立された。
• 数値実験により、理論的収束率が確認され、相分離および流体の流れのシミュレーションにおいて、本スキームの頑健さと精度が示された。
• 本スキームはCahn-Hilliard-Navier-Stokesモデルに適用可能であるが、完全なナビエ-ストークス系の誤差推定には、非線形項の高次精度上風スキームを用いたさらなる開発が必要である。