[論文レビュー] On a spectral representation for correlation measures in configuration space analysis

Yu. M. Berezansky, Yu. G. Kondratiev+2 more|ArXiv.org|Aug 14, 2006

Morphological variations and asymmetryMathematics参考文献 14被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、有限配置上に$∞star$-畳み込み構造を導入することで、配置空間解析における相関測度のスペクトル表現を確立する。これにより、可換な自己共役作用素の族が存在するヒルベルト空間${\cal H}_\rho$が構成され、射影的スペクトル定理を用いてフーリエ変換が可能となる。主な結果は、この変換が${\cal H}_\rho$から$L^2(\Gamma_X, \mu)$へのユニタリ写像をもたらし、測度$\mu$がスペクトル測度であり、$\rho$がその相関測度であることを示しており、成長条件の下で相関測度から確率測度を再構成する逆問題が解かれる。

ABSTRACT

The paper is devoted to the study of configuration space analysis by using the projective spectral theorem. For a manifold $X$, let $Γ_X$, resp.\ $Γ_{X,0}$ denote the space of all, resp. finite configurations in $X$. The so-called $K$-transform, introduced by A. Lenard, maps functions on $Γ_{X,0}$ into functions on $Γ_{X}$ and its adjoint $K^*$ maps probability measures on $Γ_X$ into $σ$-finite measures on $Γ_{X,0}$. For a probability measure $μ$ on $Γ_X$, $ρ_μ:=K^*μ$ is called the correlation measure of $μ$. We consider the inverse problem of existence of a probability measure $μ$ whose correlation measure $ρ_μ$ is equal to a given measure $ρ$. We introduce an operation of $\star$-convolution of two functions on $Γ_{X,0}$ and suppose that the measure $ρ$ is $\star$-positive definite, which enables us to introduce the Hilbert space ${\cal H}_ρ$ of functions on $Γ_{X,0}$ with the scalar product $(G^{(1)},G^{(2)})_{{\cal H}_ρ}= \int_{Γ_{X,0}}(G^{(1)}\star\bar G{}^{(2)})(η) ρ(dη)$. Under a condition on the growth of the measure $ρ$ on the $n$-point configuration spaces, we construct the Fourier transform in generalized joint eigenvectors of some special family $A=(A_ϕ)_{ϕ\in\D}$, $\D:=C_0^\infty(X)$, of commuting selfadjoint operators in ${\cal H}_ρ$. We show that this Fourier transform is a unitary between ${\cal H}_ρ$ and the $L^2$-space $L^2(Γ_X,dμ)$, where $μ$ is the spectral measure of $A$. Moreover, this unitary coincides with the $K$-transform, while the measure $ρ$ is the correlation measure of $μ$.

研究の動機と目的

• 配置空間$\Gamma_X$上の確率測度$\mu$を、与えられた$\sigma$-有限測度$\rho$ on $\Gamma_{X,0}$から再構成する逆問題を解くこと。
• $K$-変換とその随伴$K^*$を用いて、相関測度のスペクトル理論的枠組みを確立すること。
• $\rho$に成長条件が成り立つ場合、$\Gamma_{X,0}$上での$\star$-畳み込み構造により、${\cal H}_\rho$から$L^2(\Gamma_X, \mu)$へのユニタリフーリエ変換が可能となること。
• ${\cal H}_\rho$内の可換な作用素族の一般化された共通固有ベクトルにおいて、$K$-変換がフーリエ変換と一致することを示し、$\mu$をそのスペクトル測度として特定すること。

提案手法

• $\Gamma_{X,0}$上の関数に対して、$K$-変換とその随伴を用いて$\star$-畳み込みを定義する。
• $\rho$の$\star$-正定値性を用いて、内積$(G^{(1)}, G^{(2)})_{{\cal H}_\rho} = \int_{\Gamma_{X,0}} (G^{(1)} \star \overline{G}^{(2)})(\eta) \, \rho(d\eta)$を備えたヒルベルト空間${\cal H}_\rho$を定義する。
• $\varphi \in C_0^\infty(X)$を用いて、${\cal H}_\rho$上の作用素族$(A_\varphi)_{\varphi \in {\cal D}}$を$A_\varphi G(\eta) = (\varphi \star G)(\eta)$で定義する。
• $A_\varphi$が本質的に自己共役であり、その閉包が可換な自己共役作用素族をなすことを証明する。
• 可換族$(A_\varphi^\sim)$に射影的スペクトル定理を適用し、${\cal H}_\rho$から$L^2({\cal D}^\prime, \mu)$へのユニタリフーリエ変換を得る。
• このフーリエ変換が$K$-変換と一致することを示し、$\mu$がスペクトル測度であり、$\rho$がその相関測度であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 配置空間$\Gamma_{X,0}$上の$\sigma$-有限測度$\rho$に対して、$\rho = K^*\mu$を満たす$\Gamma_X$上の確率測度$\mu$が存在するための条件は何か？
• RQ2 $K$-変換は、$\rho$から構成されたヒルベルト空間内の可換な作用素族の一般化された共通固有ベクトルにおけるフーリエ変換として解釈可能か？
• RQ3 $\Gamma_{X,0}$上での$\star$-畳み込み構造により、射影的スペクトル定理を用いて$\rho$のスペクトル表現が可能か？
• RQ4 $\rho$の成長条件の下で、$\Gamma_X$上の測度$\mu$は全配置空間$\Gamma_X$に台を持つか？
• RQ5 $K$-変換は、${\cal H}_\rho$と$L^2(\Gamma_X, \mu)$の間のユニタリ作用素として実現可能か？このとき$\mu$は作用素族のスペクトル測度であるか？

主な発見

• $K$-変換は、可換な自己共役作用素族$(A_\varphi^\sim)$の一般化された共通固有ベクトルにおけるフーリエ変換とユニタリ同値であり、$K$-変換のスペクトル表現が確立される。
• ${\cal H}_\rho$は$\star$-畳み込みと$\rho$-正定値性に基づいて構成され、内積が適切に定義されていることが保証される。
• 作用素族$(A_\varphi^\sim)$のスペクトル測度$\mu$は$\mu(\Gamma_X) = 1$を満たし、$\mu$が全配置空間$\Gamma_X$に台を持つことを意味する。
• 測度$\rho$は$\mu$の相関測度、すなわち$\rho = K^*\mu$を満たしており、逆問題が正当に解かれたことが確認される。
• 成長条件$\rho(\Gamma_\Lambda^{(n)}) \leq (2 + \varepsilon)^n$の下で、測度$\widetilde{\mu}_\Lambda$は$\Gamma_\Lambda$上の確率測度であり、$\mu$はコンパクト部分集合に一貫して定義される。
• $\mu_\Lambda$のフーリエ変換は原点の近傍で解析接続可能であり、$\mu_\Lambda$の特性関数は$K$-変換を介して$\rho$の母関数と一致する。