[論文レビュー] On a Stochastic Representation Theorem for Meyer-measurable Processes and its Applications in Stochastic Optimal Control and Optimal Stopping

Peter Bank, David Beßlich|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、原子を持つ確率測度および任意のメイヤーσ-場を許容するように、メイヤー可測過程の確率的表現定理を確立する。任意のΛ-可測過程Xが、任意のΛ-停止時刻Sにおいて、$ X_S = \mathbb{E}\left[\int_{[S,\infty)} g_t(\sup_{v\in[S,t]} L_v) \mu(dt) \,\middle|\, \mathcal{F}^\Lambda_S\right] $ の形で表現可能であるような過程Lの存在および最大性を証明する。応用としては、非可逆投資および分割停止時刻における最適停止問題が含まれる。

ABSTRACT

In this paper we study a representation problem first considered in a simpler version by Bank and El Karoui [2004]. A key ingredient to this problem is a random measure $μ$ on the time axis which in the present paper is allowed to have atoms. Such atoms turn out to not only pose serious technical challenges in the proof of the representation theorem, but actually have significant meaning in its applications, for instance, in irreversible investment problems. These applications also suggest to study the problem for processes which are measurable with respect to a Meyer-$σ$-field that lies between the predictable and the optional $σ$-field. Technically, our proof amounts to a delicate analysis of optimal stopping problems and the corresponding optimal divided stopping times and we will show in a second application how an optimal stopping problem over divided stopping times can conversely be obtained from the solution of the representation problem.

研究の動機と目的

• バンクとエル・カラウイ（2004）の確率的表現定理を、原子を持つ確率測度および任意のメイヤーσ-場を許容するように一般化すること。
• 測度μに原子が存在することによって生じる技術的課題に取り組むこと。これは標準的な最適停止の議論を破壊し、分割停止時刻の使用を必要とする。
• 解過程Lの最大性を確立することにより、すべての他のΛ-可測解が恒等的ゼロ集合を除いてL以下であることを保証すること。
• μに原子が存在する場合、それが重要なリスク評価時刻を表すため、非可逆投資問題への応用を示すこと。
• 表現問題を解くことで、分割停止時刻における一般化された最適停止問題を解くことができることを示し、スネル包絡線法とは別の代替手法を提供すること。

提案手法

• 証明は、特に補助問題 $ Y_S^\ell = \mathrm{ess\,sup}_{T \in \mathcal{S}^\Lambda([S,\infty))} \mathbb{E}\left[ X_T + \int_{[S,T)} g_t(\ell) \mu(dt) \,\middle|\, \mathcal{F}_S^\Lambda \right] $ の最適停止問題の繊密な分析に依拠する。
• 解過程Lは $ L_t = \sup\{ \ell \in \mathbb{R} \mid X_t = Y_t^\ell \} $ として構成され、表現が最適停止問題の価値関数と関連づけられる。
• 測度μに原子がある場合の走行コストの不連続性を扱うために、停止時刻と3つの互いに素な集合からなる四つ組である分割停止時刻が用いられる。
• Λ-可測過程の性質およびメイヤーσ-場の構造（予測可能およびオプショナルσ-場の間を補間する）を活用して構成が行われる。
• Lの最大性は、任意の他の解が恒等的ゼロ集合を除いてL以下であることを示すことにより証明され、先行研究におけるパス正規性仮定下での一意性よりも強い結果が得られる。
• Λ-停止時刻における最適停止問題と分割停止時刻における最適停止問題の間で等価性を確立し、$ \sup_{\tau \in \mathcal{S}^{\Lambda,\mathrm{div}}} \mathbb{E}[X_\tau + \int_{[0,\tau)} g_t(\ell) \mu(dt)] = \sup_{T \in \mathcal{S}^\Lambda} \mathbb{E}[X_T + \int_{[0,T)} g_t(\ell) \mu(dt)] $ を示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度μに原子が存在する場合、走行コストの不連続性が生じるが、それでもメイヤー可測過程の確率的表現定理を拡張できるか？
• RQ2 測度μに原子が存在する最適停止問題は、標準的な最適停止時刻が存在しない場合にどのように取り扱えるか？
• RQ3 μに原子が存在する場合、分割停止時刻が解の特徴づけにおいて果たす役割は何か？ また、表現問題とはどのように関係するか？
• RQ4 メイヤーσ-場Λの選択が、表現における解過程Lの存在および最大性にどのように影響するか？
• RQ5 表現問題の解が、分割停止時刻における一般化された最適停止問題を解くのにも使えるか？ 逆に、そのような最適停止問題の解が表現問題を解くのにも使えるか？

主な発見

• 主要定理により、測度μに原子が存在する場合でも、任意のΛ-停止時刻Sにおいて $ X_S = \mathbb{E}\left[\int_{[S,\infty)} g_t(\sup_{v\in[S,t]} L_v) \mu(dt) \,\middle|\, \mathcal{F}_S^\Lambda \right] $ が成り立つΛ-可測過程Lの存在が保証される。
• 解Lは最大性を有する：任意の他のΛ-可測解は、恒等的ゼロ集合を除いてL以下である。これはバンクとエル・カラウイ（2004）のパス正規性仮定下での一意性よりも強い結果である。
• 本稿では、Λ-停止時刻における最適停止問題と分割停止時刻における最適停止問題が同じ値を返すことを示し、両者の定式化が等価であることを確立した。
• 過程Lは明示的に $ L_t = \sup\{ \ell \in \mathbb{R} \mid X_t = Y_t^\ell \} $ として構成され、ここで $ Y^\ell $ は補助最適停止問題の解である。
• 非可逆投資への応用では、$ \sup_{v\in[0,t]} L_v $ が最適投資戦略をもたらし、μの原子は重要なリスク評価時刻に対応する。
• 証明により、$ \tilde{\tau}_\ell = (T_{0,\ell}, \emptyset, \{L_{T_{0,\ell}} \geq \ell\}, \{L_{T_{0,\ell}} < \ell\}) $ が最適な分割停止時刻であり、$ T_{0,\ell} = T_\ell $ almost surely であることが判明し、表現と最適停止時刻の選択が結びついている。