[論文レビュー] On a subject of diverse improvisations: The uncertainty relations on a circle

Spiridon Dumitru|ArXiv.org|Jun 3, 2002

Music Technology and Sound Studies参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、円周上での角運動量 $L_z$ と方位角 $\varphi$ のための即席の不確定性関係（UR）の妥当性に疑問を呈し、標準的量子力学—特に $[\hat{L}_z, \hat{\varphi}] = -i\hbar$ という正準交換関係を用いるもの—が、円形運動および非円形回転運動の両方に対して完全に適用可能であると主張する。主な貢献は、即席のUR式を物理的に意味のないものとして拒否し、従来の不確定性関係の解釈を放棄し、量子測定を記述するための別個の枠組みを採用すべきであるという結論に至ることにある。

ABSTRACT

The disputed question of uncertainty relations (UR) on a circle is regarded as a particular element of a more general problem which refers to the quantum description of angular observables $L_z$ and $ϕ$. The improvised $L_z-ϕ$ UR are found to be affected by unsourmontable shortcomings. Also in contradiction with a largely accepted belief it is proved that the usual procedures of quantum mechanics are accurately applicable for the $L_z-ϕ$ pair. The applicability regards both the known circular motions and the less known non-circular rotational motions. The presented facts contribute as arguments to the following indubitable conclusions: (i) the traditional interpretation of UR must be denied as an incorrect doctrine, (ii) for a natural physical consideration of the the $L_z-ϕ$ pair the results from the usual quantum mechanics are sufficient while the improvised $L_z-ϕ$ UR must be rejected as senseless formulas and (iii) the descriptions of quantum measurements have to be done in a framework which is distinct and additional in respect with the usual quantum mechanics.

研究の動機と目的

• 文献に提案された即席の $L_z$-$\varphi$ 不確定性関係の正当性に疑問を呈すること。
• 特に演算子に基づく手法およびフーリエ変換アプローチを含む、標準的量子力学的手法が、円形および非円形回転運動の両方における $L_z$ と $\varphi$ に対して完全に適用可能であることを示すこと。
• 従来の不確定性関係の解釈（TIUR）が誤っており、教条的であるべきでないと主張すること。
• 標準的量子力学とは別個の、明確に異なる理論的枠組みを、量子測定を記述するための提言をすること。
• 交換関係 $[\hat{L}_z, \hat{\varphi}] = -i\hbar$ が、すべての回転系において普遍的に有効であり、修正の余地がないことを明確にすること。

提案手法

• 演算子 $\hat{L}_z = -i\hbar \partial/\partial\varphi$ および $\hat{\varphi} = \varphi \cdot$ を用いた $L_z$ と $\varphi$ の標準的量子力学的取り扱いを分析し、交換関係 $[\hat{L}_z, \hat{\varphi}] = -i\hbar$ を確認する。
• 区間 $[0, 2\pi]$ 上の波動関数 $\Psi_m(\varphi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{im\varphi}$ に対して、標準偏差 $\Delta L_z$ と $\Delta\varphi$ を評価し、$\Delta L_z = 0$ および $\Delta\varphi = \pi / \sqrt{3}$ を得る。
• これらの標準的結果と従来の不確定性関係 $\Delta L_z \cdot \Delta\varphi \geq \hbar/2$ の間に矛盾が生じることを特定する。これは $\Delta L_z = 0$ のため、関係式が成立しない。
• 提案された即席のUR（例：式 (6) および (7)）を批判的に検討し、$\varphi$ の定義域を $[0, 2\pi]$ を超えて拡張する、または不連続関数を導入するといった、正当化されていない仮定に依存していることを示す。
• 非円形系（例：量子ねじりひねり振動子、縮退した空間的回転）に対しても形式的枠組みを適用し、同じ交換関係が成り立つことを確認する。
• 数学的整合性と物理的考察を用いて、他の交換関係（例：$[\hat{L}_z, \hat{\varphi}] = -i\hbar + i\hbar 2\pi\delta$）を物理的に正当化できないと結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ即席の $L_z$-$\varphi$ 不確定性関係は一貫性や物理的意味を持たない結果を生じるのか？
• RQ2 標準的量子力学的手法は、非円形回転系を含め、$L_z$-$\varphi$ 系に対しても信頼性を持って適用可能なのか？
• RQ3 従来の不確定性関係の解釈（TIUR）は、円周上の角変数に対して有効なのか、それとも根本的に誤りなのか？
• RQ4 波動関数 $\Psi_m(\varphi)$ に対して $\Delta L_z = 0$ および $\Delta\varphi = \pi / \sqrt{3}$ が量子力学に反するのか、それともTIURの欠陥を暴露しているのか？
• RQ5 $L_z$ と $\varphi$ の量子測定を記述する正しい枠組みは何か？ そして、標準的量子力学とはどのように異なるのか？

主な発見

• 交換関係 $[\hat{L}_z, \hat{\varphi}] = -i\hbar$ を用いた、$L_z$ と $\varphi$ の標準的量子力学的取り扱いは、非円形運動（例：量子ねじりひねり振動子、縮退した空間的回転）を含む、すべての回転系に対して有効で、一貫している。
• 波動関数 $\Psi_m(\varphi)$ に対する標準偏差 $\Delta L_z = 0$ および $\Delta\varphi = \pi / \sqrt{3}$ は、数学的にも物理的にも正しい。これは、それらが不確定性原理に違反しているという仮定を覆す。
• 即席の $L_z$-$\varphi$ 不確定性関係（例：式 (6)、(7)）は、$\varphi$ の定義域を $[0, 2\pi]$ を超えて拡張する、または不連続関数を導入するといった、正当化されていない仮定に依存しており、物理的に意味を持たない。
• 通常のQM手続きが $L_z$-$\varphi$ に対して機能しないという主張は誤りである。同じ形式的枠組みがすべての回転系に一様に適用可能であり、臨時の修正は不要である。
• 従来の不確定性関係の解釈（TIUR）は誤った教条的主張であり、円周上の角変数に適用すると矛盾を生じるため、放棄されなければならない。
• $L_z$ と $\varphi$ の量子測定を記述するための、標準的量子力学とは別個の、明確に異なる理論的枠組みが、今後必要となる。この枠組みは、TIURの物理的および数学的不整合を説明できるものでなければならない。