[論文レビュー] On a weighted Trudinger-Moser type inequality on the whole space and related maximizing problem

Van Hoang Nguyen, Futoshi Takahashi|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、関数の変換とAdimurthiおよびYangによる特異なTrudinger-Moser不等式を用いて、全空間ℝᴺにおける全Sobolevノルム制約のもとでの重み付きTrudinger-Moser不等式を確立する。主な結果は、臨界指数αₙ,₆の鋭さと、α < αₙ,₆のとき最大値関数の存在、αが小さいときの非存在性である。

ABSTRACT

In this paper, we establish a weighted Trudinger-Moser type inequality with the full Sobolev norm constraint on the whole Euclidean space. Main tool is the singular Trudinger-Moser inequality on the whole space recently established by Adimurthi and Yang, and a transformation of functions. We also discuss the existence and non-existence of maximizers for the associated variational problem.

研究の動機と目的

• 全空間ℝᴺにおける全Sobolevノルム制約のもとでの重み付きTrudinger-Moser型不等式を確立すること。
• 関連する変分問題における最大値関数の存在および非存在を調査すること。
• 重み付き不等式における上界の有限性のための鋭い臨界指数αₙ,₆を特定すること。
• 有界領域におけるTrudinger-Moser不等式の既知の結果を、重み|x|⁻ᵝを伴うℝᴺの非有界領域への拡張すること。

提案手法

• AdimurthiおよびYangが最近確立したℝᴺ上での特異なTrudinger-Moser不等式を基盤的な道具として用いた。
• 関数の変換を適用して重み付き不等式を既知の形に還元し、臨界指数の分析を可能にした。
• 変分問題における関数の定義に、切り捨て指数関数Φₙ(t) = eᵗ − ∑ⱼ₌₀ⁿ⁻² tʲ/j! を用いた。
• Moser型のテスト関数列(uₙ)を用いて、吹き上がり挙動を分析し、臨界指数付近での関数の成長を推定した。
• スケーリングの議論と漸近的推定を用いて、上界および下界を上界関数に対して導出した。
• Lᴺノルム（重み|x|⁻ᵞを伴う）と勾配ノルムを組み合わせて、制約における全Sobolevノルムを制御した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全Sobolevノルム制約のもとでℝᴺ上での重み付きTrudinger-Moser上界の有限性のための鋭い臨界指数αₙ,₆は何か？
• RQ2 重み付きTrudinger-Moser不等式における上界が最大値をとる条件は何か？
• RQ3 重み|x|⁻ᵝの存在が、変分問題における最大値関数の存在に与える影響は何か？
• RQ4 αが小さい場合に上界が有限ではあるが達成されないことはあり得るか？ もしあるならば、その理由は何か？

主な発見

• 重み付きTrudinger-Moser不等式がℝᴺ上で全Sobolevノルム制約のもとで有限であるための必要十分条件は、α ≤ αₙ,₆ である。ここでαₙ,₆ = ((N−β)/N)αₙである。
• α < αₙ,₆のとき、上界は達成され、変分問題における最大値関数の存在を示している。
• 十分に小さいα > 0のとき、上界は達成されず、消える列に起因する非コンパクト性のためである。
• 不等式における鋭い定数は、あるC > 0に対して、supₐ∈(0,αₙ,₆) (1/(1−(α/αₙ,₆)ᴺ⁻¹))⁽ᴺ⁻ᵇ⁾⁽ᴺ⁻ᵞ⁾ ≤ C ⋅ Ã(N,α,β,γ) を満たす漸近的推定を満たす。
• αₙ,₆に近づく際の関数の吹き上がりレートは、要因(1−(α/αₙ,₆)ᴺ⁻¹)⁻⁽ᴺ⁻ᵇ⁾⁽ᴺ⁻ᵞ⁾によって制御され、α → αₙ,₆⁻のとき発散することが示された。
• N ≥ 3のときα ∈ (0, αₙ,₆)、N = 2のときα ∈ (α*, αₙ)で最大値関数の存在が確立され、ここでα* > 0はGagliardo-Nirenberg不等式に関連するものである。