[論文レビュー] On abelian 2-categories and derived 2-functors

Teimuraz Pirashvili|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2-環上の2加群の2圏を構成することで、アーベル2圏に対する導来2ファンクター理論を確立した。その結果、このような2圏の導来圏が三角的であり、古典的なアーベル圏の導来圏と同値であることが示された。主な結果として、カテゴリカル群の2次コホモロジーが、カテゴリカル群上の2圏におけるExt群と同定されることを特定した。

ABSTRACT

This is an extended version of my earlier articel "Projective and injective objects in symmetric categorical groups. arXiv:1007.0121v1." Several new facts added, including the material on the derived 2-functors and the proof of the Gabriel-Mitchel theorem and the Morita theory for 2-rings.

研究の動機と目的

• アーベル2圏に対する導来2ファンクター理論を発展させ、古典的ホモロジー代数を高次圏へ一般化すること。
• 2-環上の2加群の2圏の導来圏が三角的であり、古典的アーベル圏の導来圏と同値であることを示すこと。
• カテゴリカル群上の2圏におけるExtファンクターの2圏的類似を確立し、カテゴリカル群の2次コホモロジーとExtを同定すること。
• カテゴリカル群GのG-加群の2圏が十分なインジェクティブ対象を持ち、2-環上の加群と2同値であることを示すこと。
• アーベル2圏の基礎となる圏が2同値に関して不変でないことを明確にし、2圏的不変量の必要性を強調すること。

提案手法

• 射影的対象を度数0に持つ長さ1の複体の2圏 $\mathbf{A}^{[1]}_c$ を構成し、$\mathbf{A}$ が十分な射影的対象を持つとき、これがアーベル的であることを示した。
• カテゴリカル群 $\mathbb{G}$ のナーヴを用いて、$\mathbb{G}$-加群 $\mathbb{S}$ に値をとる2コチェーン複体 $C^n(\mathbb{G}, \mathbb{S})$ を定義し、2コホモロジー的構造を形成した。
• この2コチェーン複体のコホモロジーとして、2次コホモロジー $\mathcal{H}^*(\mathbb{G}, \mathbb{S})$ を定義した。
• $\mathbb{S}$ から $\mathbb{G}$ から $\mathbb{S}$ へのファンクターの対称的カテゴリカル群 $M(\mathbb{G}, \mathbb{S})$ への自然な準同型 $i_\mathbb{S}: \mathbb{S} \to M(\mathbb{G}, \mathbb{S})$ を確立し、これが忠実であることを示した。
• G-加群の2圏におけるインジェクティブ対象がファンクター $M(\mathbb{G}, -)$ に関してそのままインジェクティブのままであることを証明し、インジェクティブ分解の使用を可能にした。
• 単位における評価によるホモトピー同値を適用し、$n > 1$ のとき $\mathcal{H}^n(\mathbb{G}, M(\mathbb{G}, \mathbb{S})) = 0$ が成り立つことを示した。これはExt同型の根拠となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル圏からアーベル2圏へ導来ファンクターをどのように一般化できるか？
• RQ2 カテゴリカル群の2次コホモロジーと、2圏上の加群におけるExtとの関係は何か？
• RQ3 G-加群の2圏が十分なインジェクティブ対象を持ち、2-環上の加群と2同値であることを示せるか？
• RQ4 2同値はアーベル2圏の基礎となる圏にどのように影響を与え、なぜそれが重要なのか？
• RQ5 射影的分解のようなコフレイント対象が、アーベル圏からアーベル2圏を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 射影的対象を度数0に持つ1項複体の2圏 $\mathbf{A}^{[1]}_c$ の導来圏は三角的であり、古典的導来圏 $\mathbb{D}(\mathbf{A})$ と同値である。
• カテゴリカル群 $\mathbb{G}$ とその $\mathbb{G}$-加群 $\mathbb{S}$ に対する2次コホモロジー $\mathcal{H}^*(\mathbb{G}, \mathbb{S})$ は、Ext群 $\mathbf{Ext}^*_{{\mathfrak{S}}{\mathfrak{C}}{\mathfrak{G}}_{\mathbb{G}}}(\Phi, \mathbb{S})$ と同型である。
• G-加群の2圏 $\mathfrak{S}\mathfrak{C}\mathfrak{G}_{\mathbb{G}}$ は十分なインジェクティブ対象を持ち、$\mathbb{Q}$ が自明な $\mathbb{G}$-加群としてインジェクティブであるとき、$M(\mathbb{G}, \mathbb{Q})$ もインジェクティブである。
• 自然な準同型 $i_\mathbb{S}: \mathbb{S} \to M(\mathbb{G}, \mathbb{S})$ は忠実であり、$\mathbb{S}$ がインジェクティブであるとき、$M(\mathbb{G}, \mathbb{S})$ の部分加群としての直和成分である。
• 2コチェーン複体 $C^n(\mathbb{G}, \mathbb{S})$ は2完全列を誘導し、$n > 1$ のときのコホモロジー $\mathcal{H}^n(\mathbb{G}, M(\mathbb{G}, \mathbb{S})) = 0$ が成り立つ。これはExt同型に不可欠である。
• 2圏 $\mathfrak{S}\mathfrak{C}\mathfrak{G}_{\mathbb{G}}$ は小さな射影的生成子を持ち、2-環上の加群の2圏と2同値である。