[論文レビュー] On Abhyankar's irreducibility criterion for quasi-ordinary polynomials

Janusz Gwoździewicz, Beata Hejmej|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、平面な解析的曲線におけるAbhyankarの無限可約性基準を、高次元の準通常多項式へ一般化する。f が無限可約かつ準通常であると仮定したとき、f と別のWeierstrass多項式 g の結果式のすべての単項式の次数が (deg g)q_k を超える（十分に高い次数）ならば、g も無限可約かつ準通常であり、特徴的指数 (h₁,…,h_k) を持つことが示された。これは古典的な結果を多変数形式のべき級数環へ拡張するものである。

ABSTRACT

Let $f$ and $g$ be Weierstrass polynomials with coefficients in the ring of formal power series over an algebraically closed field of characteristic zero. Assume that $f$ is irreducible and quasi-ordinary. We show that if degree of $g$ is small enough and all monomials appearing in the resultant of $f$ and $g$ have orders big enough, then $g$ is irreducible and quasi-ordinary, generalizing Abhyankar's irreducibility criterion for plane analytic curves.

研究の動機と目的

• 平面曲線におけるAbhyankarの古典的無限可約性基準を、高次元の準通常多項式へ拡張すること。
• f が無限可約かつ準通常であると仮定したとき、f と g の結果式に基づいて、Weierstrass多項式 g が無限可約かつ準通常である条件を特定すること。
• 無限可約Weierstrass多項式間の対数的接触の概念を導入し、それを用いて主基準を再定式化すること。
• Abhyankar-Mohの無限可約性基準が、主定理の特別な場合として得られることを示すこと。

提案手法

• K[[X]][Y] 内の2つのWeierstrass多項式 f と g の結果式 Res(f, g) を用いる。ここで f は無限可約かつ準通常である。
• Res(f, g) のすべての単項式の次数に条件を適用する：ある k ≤ s に対して、(deg g)q_k を超えること。
• f の特徴的指数 (h₁,…,h_s) を導入し、格子 M_i と関連する重み e_i, q_i の列を構成する。
• 対数的接触 contA(f, g) を、結果式の正規化されたニュートン多面体として定義し、次数条件の幾何的解釈を可能にする。
• 重み付き次数とニュートン多面体を用いて、K[[X^{1/m}]] 内の根およびそれらの差の構造を分析する。
• 主結果を f と g 間の対数的距離の観点から再定式化し、contA(f, g) > contA(f, f_k) ならば、無限可約性および正しい特徴的指数が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 f が無限可約かつ準通常であるとき、結果式 Res(f, g) にどのような条件が満たされれば、Weierstrass多項式 g が無限可約かつ準通常となるか？
• RQ2 Res(f, g) の単項式の次数は、g の特徴的指数とどのように関係するか？
• RQ3 Abhyankarの平面曲線における古典的無限可約性基準は、より一般の多変数基準の特別な場合として得られるか？
• RQ4 結果式のニュートン多面体は、g の無限可約性および準通常性を決定する上でどのような役割を果たすか？
• RQ5 f と g 間の対数的接触は、g の特徴的指数に関する情報をどのように符号化するか？

主な発見

• Res(f, g) のすべての単項式の次数が (deg g)q_k を超えるならば、g は無限可約かつ準通常であり、次数 n₁⋯n_k、特徴的指数 (h₁,…,h_k) を持つ。
• g の根 γ に対して、f の根 α が存在し、γ − α = ∑_{h > h_k} c_h X^h を満たす。これは、γ がニュートン次数の意味で α に近いことを意味する。
• X^{(deg g)q_k+1} が Res(f, g) を割るならば、Res(f, g) = u(X) X^{(deg g)q_k+1} かつ u(0) ≠ 0 となる。これは正確な次数条件を示している。
• この場合、g のすべての根 γ は γ − α = c_{h_{k+1}} X^{h_{k+1}} + ∑_{h > h_{k+1}} c_h X^h を満たし、次の特徴的指数が明示的に現れる。
• d=2 かつ f が無限可約で i₀(f,X)=n である場合、Abhyankar-Moh基準は、結果式の次数条件 i₀(f,g) > n q_s が満たされれば g の無限可約性が保証されるという特別な場合として回復される。
• 無限可約かつ準通常多項式に対しては、対数的接触の強い三角不等式が成り立つが、より広いクラスのWeierstrass多項式では一般には成り立たない。