[論文レビュー] On Abhyankar's lemma about ramification indices

Jean-Luc Chabert, Emmanuel Halberstadt|arXiv (Cornell University)|May 22, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、少なくとも一方の拡大が単純に分岐している場合、局上市の二つの有限拡大の合成の分岐指数が、個々の分岐指数の最小公倍数（lcm）に等しいことを、群論的な証明で示している。主な貢献は、完全な残渣体をもつデデキンド整域へアービアンカールの補題を一般化し、単純分岐の条件下で $ e(\mathfrak{q}/\mathfrak{p}) = \mathrm{lcm}\{e(\mathfrak{p}_1/\mathfrak{p}), e(\mathfrak{p}_2/\mathfrak{p})\} $ が成り立つことを確立したことである。

ABSTRACT

We provide a simple proof of the fact that the ramification index of the compositum of two finite extensions of local fields is equal to the least common multiple of the ramification indices when at least one of the extensions is tamely ramified.

研究の動機と目的

• 数体および関数体へのアービアンカールの補題の一般化を図り、合成拡大の分岐指数に関する明確な公式を確立すること。
• 文献における空白を埋めるために、少なくとも一方の拡大が単純に分岐している場合の直接的証明を提供すること。これは、従来は関数体に対してのみ述べられていた。
• 合成の分岐指数が個々の指数の最小公倍数に等しくなる条件を明確にすること。特に、完全な残渣体をもつデデキンド整域の文脈において。
• 標準的な不等式 $ \mathrm{lcm}\{e(\mathfrak{p}_1/\mathfrak{p}), e(\mathfrak{p}_2/\mathfrak{p})\} \mid e(\mathfrak{q}/\mathfrak{p}) $ が単純分岐の下で等式に拡張可能であることを示すこと。

提案手法

• 合成 $ L = K_1K_2 $ の正規閉包 $ L' $ を $ K $ 上にとり、$ \mathfrak{p} $ 上にある素点 $ \mathfrak{q}' $ における分解群 $ G_0 = \mathcal{I}_{\mathfrak{q}'}(L'/K) $ を分析する。
• ガロア群と分岐の性質を用いて、$ p $ と互いに素な位数の巡回群と $ p $-部分群 $ G_1 $ にたいする半直積への分解を行う。
• 公式 $ e(\mathfrak{q}/\mathfrak{p}) = |G_0| / |G_0 \cap \Gamma| $（$ \Gamma = \mathrm{Gal}(L'/L) $）を用い、同様に $ e(\mathfrak{p}_i/\mathfrak{p}) $ を群の位数で表現する。
• 恒等式 $ \mathrm{lcm}(a,b) \times \gcd(a,b) = ab $ を用いて、分岐指数の最小公倍数と対応する群の位数の最大公約数を関連付ける。
• 特性 $ p $ に基づく場合分けを行う：$ p = 0 $ の場合、$ G_0 $ は巡回群であるため、部分群の交わりの位数はその位数の最大公約数に等しい。
• $ p > 0 $ の場合、$ G_1 $ が唯一の $ p $-シロー部分群であることと、射影 $ \pi: G_0 \to G_0/G_1 $ を用いて問題を巡回商に還元し、$ |G_0 \cap \Gamma| = \gcd\{|G_0 \cap \Gamma_1|, |G_0 \cap \Gamma_2|\} $ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの局上市拡大の合成の分岐指数が、個々の分岐指数の最小公倍数に等しくなる条件は何か？
• RQ2 アービアンカールの補題を関数体に限らず、数体および完全な残渣体をもつデデキンド整域へ一般化できるか？
• RQ3 両方の拡大が極めて分岐している場合、分岐指数にはどのような影響があり、なぜ最小公倍数の公式が成立しないのか？
• RQ4 合成のガロア閉包における分解群の構造が、合成の分岐指数をどのように決定するか？
• RQ5 少なくとも一方の拡大が単純に分岐しているとき、$ e(\mathfrak{q}/\mathfrak{p}) = \mathrm{lcm}\{e(\mathfrak{p}_1/\mathfrak{p}), e(\mathfrak{p}_2/\mathfrak{p})\} $ が成り立つか？

主な発見

• 少なくとも $ K_1/K $ または $ K_2/K $ の一方が単純に分岐している場合、$ L = K_1K_2 $ の $ K $ への分岐指数は $ e(\mathfrak{q}/\mathfrak{p}) = \mathrm{lcm}\{e(\mathfrak{p}_1/\mathfrak{p}), e(\mathfrak{p}_2/\mathfrak{p})\} $ を満たす。
• 証明は、正規閉包における分解群のガロア理論的構造に依拠しており、ガロア群の交わりの位数がそれらの位数の最大公約数に等しいことを示している。
• 残渣の特性 $ p = 0 $ の場合、分解群は巡回群であり、部分群の交わりの位数がその位数の最大公約数に等しいという性質から、結果が直接的に導かれる。
• $ p > 0 $ の場合、$ p $-シロー部分群 $ G_1 $ は正規であり、$ p $ が $ e(\mathfrak{p}_1/\mathfrak{p}) $ を割り切らないならば、$ G_1 $ は $ \Gamma_1 $ に含まれる。このため、問題は巡回商に還元され、結果が得られる。
• 両方の拡大が極めて分岐している場合、一般には公式は成立しない。本論文は、$ K = \mathbb{Q} $、$ K_1 = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{3}) $、$ K_2 = \mathbb{Q}(j\sqrt[3]{3}) $ という反例を提示し、$ e(\mathfrak{q}/\mathfrak{p}) = 6 $、$ \mathrm{lcm}(3,3) = 3 $、$ 6 \nmid 9 $ であるため、積の上限も一般には成立しないことを示している。
• 系として、$ e(\mathfrak{p}_1/\mathfrak{p}) $ と $ e(\mathfrak{p}_2/\mathfrak{p}) $ が互いに素であれば、$ e(\mathfrak{q}/\mathfrak{p}) = e(\mathfrak{p}_1/\mathfrak{p}) \times e(\mathfrak{p}_2/\mathfrak{p}) $ が成り立つ。これは $ \gcd(a,b) = 1 $ のとき $ \mathrm{lcm}(a,b) = ab $ であることから従う。