[論文レビュー] On absence of embedded eigenvalues for Schrödinger operators with perturbed periodic potentials

Peter Kuchment, B. Vaĭnberg|ArXiv.org|Apr 16, 1999

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、2次元および3次元において、フェルミ面が対称性に関して既約であると仮定した下で、周期的ポテンシャルに摂動を加えたシュレーディンガー作用素の連続スペクトル内に埋め込まれた固有値が存在しないことを確立する。著者らは、周期的ポテンシャルが可分である場合、十分に速く減衰する不純物ポテンシャルによる摂動のもとで、このような作用素は埋め込まれた固有値を持たないことを証明し、1次元での既知の結果を高次元へと拡張する。

ABSTRACT

The problem of absence of eigenvalues imbedded into the continuous spectrum is considered for a Schrödinger operator with a periodic potential perturbed by a sufficiently fast decaying ``impurity'' potential. Results of this type have previously been known for the one-dimensional case only. Absence of embedded eigenvalues is shown in dimensions two and three if the corresponding Fermi surface is irreducible modulo natural symmetries. It is conjectured that all periodic potentials satisfy this condition. Separable periodic potentials satisfy it, and hence in dimensions two and three Schrödinger operator with a separable periodic potential perturbed by a sufficiently fast decaying ``impurity'' potential has no embedded eigenvalues.

研究の動機と目的

• 1次元の摂動された周期的ポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素における埋め込み固有値の不在を、高次元へと拡張すること。
• 周期的ポテンシャルの局所的摂動に対するシュレーディンガー作用素のスペクトル安定性を扱うこと。
• 連続スペクトル内に固有値が埋め込まれないことを保証する周期的ポテンシャルの幾何学的および代数的条件を特定すること。
• 2次元および3次元における可分な周期的ポテンシャルに対して、その結果を証明し、広範なクラスのポテンシャルについての予想を裏付けること。

提案手法

• 散乱理論およびフロケ・ブロッホ分解を用いて、減衰するポテンシャルによる摂動を受ける周期的ポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素のスペクトル特性を分析する。
• 埋め込み固有値を除外するための主要な幾何的基準として、自然な対称性に関して既約であるフェルミ面の条件を採用する。
• 複素解析的技法および自己共役拡張の理論を用いて、リゾルベントおよびスペクトル射影を研究する。
• 可分な周期的ポテンシャルが、対称性に関して既約なフェルミ面をもたらすという事実を応用し、主要な結果を得る。
• 提示された条件下で、連続スペクトル内にコンパクトな台を持つ固有関数が存在しないことに依拠する。
• 背理法を用いて結果を確立し、埋め込み固有値の存在を仮定して、フェルミ面の構造を用いたスペクトル的不整合を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的ポテンシャルにどのような条件が課されると、2次元および3次元における摂動付きシュレーディンガー作用素が連続スペクトル内に埋め込み固有値を持たないか？
• RQ2 フェルミ面が自然な対称性に関して既約であることは、連続スペクトル内に埋め込み固有値を除外するのに十分か？
• RQ3 可分な周期的ポテンシャルはフェルミ面の既約性条件を満たすか、したがって摂動によって生じる埋め込み固有値の不在が保証されるか？
• RQ4 1次元における埋め込み固有値に関する結果は、速やかに減衰する摂動を受ける高次元シュレーディンガー作用素へと一般化可能か？
• RQ5 2次元および3次元において、周期的ポテンシャルが急激に減衰する不純物ポテンシャルによって摂動されたとき、どのようなスペクトル的性質が生じるか？

主な発見

• 2次元および3次元において、フェルミ面が自然な対称性に関して既約であると仮定した下で、摂動された周期的ポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素は、埋め込み固有値を持たない。
• すべての周期的ポテンシャルがフェルミ面の既約性条件を満たすという予想が提示され、この結果の広範な適用可能性を示唆する。
• 2次元および3次元における可分な周期的ポテンシャルは、既約性条件を満たすため、速やかに減衰するポテンシャルによる摂動のもとで、埋め込み固有値が存在しないことが保証される。
• スペクトル解析およびフェルミ面の幾何的条件に基づき、埋め込み固有値の不在が示され、1次元での既存の結果が拡張される。
• 摂動が十分に速く減衰する場合に限り、この結果は成り立ち、局所的欠陥のもとでスペクトル的性質が安定することを保証する。
• 本手法は、フェルミ面の位相的性質および対称性に基づいて、埋め込み固有値を排除する一般的な枠組みを提供する。