[論文レビュー] On absolute nonshadowability of transitive maps

Sergey Tikhomirov|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな距離空間上の推移的写像および推移的吸引小屋に対して、二分法を確立する。すなわち、写像が古典的シャドーイング性質を持つか、それとも自然な確率過程に基づくほぼ至るところの無限ランダム擬軌道が、確率ゼロでシャドーイングに失敗するかのどちらかである。この結果は、推移的条件下では絶対的シャドーイング不能性が一般であることを示しており、このような系では、稠密な軌道が存在するにもかかわらず、確率論的にシャドーイングを回復することはできないことを意味する。

ABSTRACT

We study shadowing property for random infinite pseudotrajectories of a continuous map $f$ of a compact metric space. For the cases of transitive maps and transitive attractors we prove a dichotomy: either $f$ satisfies shadowing property or random pseudotrajectory is shadowable with probability 0.

研究の動機と目的

• 推移的写像のランダム擬軌道が正の確率でシャドーイング可能かどうかを調査すること。
• 稠密な前向き軌道を有する系において、シャドーイング性質が確率論的に回復可能かどうかを特定すること。
• 推移的力学系における完全シャドーイングと絶対的シャドーイング不能性の二分法を確立すること。
• 決定的擬軌道から超えて、確率的設定におけるシャドーイングの理解を拡張すること。
• 推移的写像および吸引小屋において、シャドーイングが欠如している場合、ほぼすべてのランダム擬軌道がシャドーイング不能であることを示すこと。

提案手法

• 各次の点が f(y_n) の d-球内から一様に選ばれるように、点の空間上のマルコフ連鎖としてランダム擬軌道をモデル化する。
• 初期点 y₀ から出発する d-擬軌道が ε-シャドーイング可能である確率 p(y₀, d, ε) を定義する。
• 絶対的シャドーイング不能性の概念を用いる：f が絶対的シャドーイング不能であるとは、ある ε > 0 およびすべての y₀, d > 0 に対して p(y₀, d, ε) = 0 であることを意味する。
• 有限のシャドーイング不能な擬軌道の存在に基づく再帰的議論を適用し、推移性とコンパクト性を併用する。
• マルコフ性と失敗確率の正の下界を用いて、時間区間ごとに独立したシャドーイング失敗の列を構成する。
• ボレル＝カンテリの補題と測度論的議論を用いて、最終的なシャドーイング失敗の確率が 1 に近づくことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 推移的写像のランダム無限擬軌道は、正の確率でシャドーイング可能か？
• RQ2 推移的条件下で、すべての擬軌道がシャドーイング可能か、またはほとんどすべてが不可能かという二分法が成り立つか？
• RQ3 古典的シャドーイング性が欠如している場合、ランダム擬軌道がほとんど確実にシャドーイング不能であるか？
• RQ4 稠密な前向き軌道を有する系において、シャドーイング性質が確率論的に回復可能か？
• RQ5 吸引小屋およびその推移性が、ランダム擬軌道のシャドーイング可能性に果たす役割は何か？

主な発見

• 推移的写像では、写像が古典的シャドーイング性を持つか、あるいはある ε > 0 に対して、任意のランダム無限擬軌道が確率ゼロで ε-シャドーイング可能であるかのどちらかである。
• 推移的吸引小屋の場合、写像が吸引小屋上でシャドーイング性を満たさないならば、吸引領域内の任意の初期点に対して、ランダム d-擬軌道のシャドーイング確率はゼロである。
• 重複する時間区間における繰り返しの独立した失敗のため、時間の経過とともにシャドーイング失敗の確率は 1 に近づく。
• 証明は、ε-シャドーイングに失敗する有限の擬軌道を構成し、推移性を用いてそれをランダム軌道に無限回埋め込むことにより行われる。
• 初期条件および十分に小さな d > 0 に対して一様に成り立つため、擬軌道の小さな摂動に対してもシャドーイング不能性が安定であることが示される。
• 主な技術的道具は、各再帰サイクルにおける失敗確率の正の下界 η > 0 であり、これにより生存確率の無限積が消える。