[論文レビュー] On Algebraic condition for null controllability of some coupled degenerate systems

El Mustapha Ait Ben Hassi, Mohamed Fadili+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、定数係数、対角化可能かつ正の実固有値をもつ拡散行列、および $ m $ 個の制御をもつ $ n $ クローズド線形劣化放物型系のゼロ可制御性について、一般化されたカルマンランク条件を確立する。2n階スカラー劣化方程式に対するグローバル・カルマン推定と、随伴系の観測可能性不等式の導出により、ゼロ可制御性が成り立つのは、劣化作用素のすべての固有値 $ \lambda_p $ に対してカルマンランク条件 $ \text{rank}[(-\lambda_p\mathbf{D}+A)\mid B] = n $ が成立する場合に限ることを示しており、古典的な可制御性結果を劣化・結合系へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper we will generalize the Kalman rank condition for the null controllability to $n$-coupled linear degenerate parabolic systems with constant coefficients, diagonalizable diffusion matrix, and $m$-controls. For that we prove a global Carleman estimate of the solution of a scalar $2n$-order equation then we infer from it an observability inequality for the corresponding adjoint system, and thus the null controllability.

研究の動機と目的

• 定数係数をもつ $ n $ クローズド線形劣化放物型系の古典的カルマンランク条件を、ゼロ可制御性へと拡張すること。
• 拡散行列 $ \mathbf{D} $ が正の実固有値をもつ対角化可能であり、結合行列 $ A $ がフルランクである場合を扱うこと。
• $ a(0) = 0 $ を満たす弱くまたは強く劣化する拡散係数 $ a(x) $ をもつ系のゼロ可制御性を確立すること。
• 2n階スカラー劣化方程式に対するグローバル・カルマン推定を証明し、その結果として随伴系の観測可能性不等式を導出すること。
• この劣化・結合系設定において、カルマンランク条件がゼロ可制御性の必要十分条件であることを示すこと。

提案手法

• $ y_t $, $ (a(x)y_x)_x $, $ y $, $ y_x $ を含む2n階スカラー劣化放物型方程式に対するグローバル・カルマン推定を証明すること。
• カルマン推定を用いて、元の結合劣化系の随伴系の観測可能性不等式を導出すること。
• ゼロ可制御性と観測可能性の双対性を応用し、問題を観測可能性不等式の検証に還元すること。
• 固有値 $ \lambda_p $ の固有関数展開とスペクトル分解を用いて、劣化作用素 $ \mathcal{M} $ の観点から随伴系を分析すること。
• カルマン条件のもとで、 $ \|\varphi(0,\cdot)\|_{L^2}^2 \leq C \int_{(0,T)\times\omega} |B^*\varphi|^2 \,dxdt $ という主要な不等式を確立すること。
• $ \ker(\mathcal{K}^*) = \{0\} $ の条件を用いて、すべての関連固有値に対してカルマンランク条件が成立することを保証し、観測可能性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数係数をもつ $ n $ クローズド劣化放物型方程式系と $ m $ 個の制御が与えられたとき、どのような代数的条件がゼロ可制御性を保証するか？
• RQ2 対角化可能拡散行列をもつ劣化・結合放物型系へ、古典的カルマンランク条件をどのように一般化できるか？
• RQ3 2n階劣化方程式に対するグローバル・カルマン推定を用いて、このような結合系の随伴系の観測可能性推定を導出できるか？
• RQ4 劣化作用素 $ \mathcal{M} $ の固有値が、系の可制御性に果たす役割は何か？
• RQ5 このクラスの劣化・完全結合系において、カルマンランク条件がゼロ可制御性の必要十分条件であるか？

主な発見

• $ n $ クローズド劣化系のゼロ可制御性は、作用素 $ \mathcal{M} $ のすべての固有値 $ \lambda_p $ に対して一般化カルマンランク条件 $ \text{rank}[(-\lambda_p\mathbf{D}+A)\mid B] = n $ が成立する場合に限り成立する。
• 2n階スカラー劣化方程式に対するグローバル・カルマン推定が確立され、結合系における観測可能性不等式の導出に不可欠である。
• $ \ker(\mathcal{K}^*) = \{0\} $ の仮定のもとで、観測可能性不等式 $ \|\varphi(0,\cdot)\|_{L^2}^2 \leq C \int_{(0,T)\times\omega} |B^*\varphi|^2 \,dxdt $ が証明された。これはカルマン条件と同値である。
• 本証明は、 $ y_t $, $ (a(x)y_x)_x $, $ y $, $ y_x $ を含む、これまでの結果を高階劣化系へ拡張した、革新的なカルマン推定に依拠している。
• 以前のキャスケード型またはスカラー劣化系に対する結果を、対角化可能拡散行列をもつ完全結合系へと一般化した。
• 主な技術的創意工夫は、完全結合構造を扱うために2n階カルマン推定を用いることであり、これにより鋭い観測可能性推定が得られた。