[論文レビュー] On algebraic structures of numerical integration on vector spaces and manifolds

Alexander Selvikvåg Lundervold, Hans Munthe–Kaas|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2012

Numerical methods for differential equations被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、ベクトル空間および多様体上の幾何学的数値積分を分析するための代数的・組合せ的枠組みを展開する。pre-Lie、post-Lie、D代数、非可換ホップ代数を中心として、Lie–Butcher級数、後退誤差解析、代入則の間の関係を畳み込み代数を通じて確立し、代数的構造が数値解法の次数理論および構造保存性を統一的に理解する手がかりを与えることを示している。

ABSTRACT

Abstract. Numerical analysis of time-integration algorithms has been applying ad-vanced algebraic techniques for more than fourty years. An explicit description of the group of characters in the Butcher–Connes–Kreimer Hopf algebra first appeared in Butcher’s work on composition of integration methods in 1972. In more recent years, the analysis of structure preserving algorithms, geometric integration techniques and in-tegration algorithms on manifolds have motivated the incorporation of other algebraic structures in numerical analysis. In this paper we will survey algebraic structures that have found applications within these areas. This includes pre-Lie structures for the ge-ometry of flat and torsion free connections appearing in the analysis of numerical flows on vector spaces. The much more recent post-Lie and D-algebras appear in the analysis of flows on manifolds with flat connections with constant torsion. Dynkin and Eule-rian idempotents appear in the analysis of non-autonomous flows and in backward error analysis. Non-commutative Bell polynomials and a non-commutative Faa ̀ di Bruno Hopf algebra are other examples of structures appearing naturally in the numerical analysis of integration on manifolds.

研究の動機と目的

• 高度な代数的・組合せ的ツールを用いて、幾何学的数値積分法の分析を統一すること。
• Lie–Butcher級数とD代数を用いて、古典的バーサー級数理論をベクトル空間から多様体へと拡張すること。
• pre-Lieおよびpost-Lie代数などの代数的構造が、ねじれ（torsion）および曲率を有する流れをモデル化する上で果たす役割を明確化すること。
• 非可換ホップ代数を用いて、数値積分法の後退誤差解析および代入則を形式化すること。
• 代数的恒等式および特徴（characters）を通じて、次数条件および構造保存性の理解を体系的かつ包括的に提供するフレームワークを構築すること。

提案手法

• 数値流れを表すために、根付き木によってインデックス付けられた形式的級数展開としてのバーサー級数およびLie–Butcher級数（LB級数）を用いる。
• 平坦でねじれのない接続をモデル化するためのpre-Lie代数を用い、合成則の代数的構造を捉える。
• 多様体上での定数ねじれを扱うためにpost-LieおよびD代数を導入し、pre-Lie設定を一般化する。
• 非可換Faà di Brunoホップ代数および非可換ベル多項式を用いて、ベクトル場の合成と代入を記述する。
• 畳み込み積およびホップ代数（例：バーサー＝コンス＝クライマー）における特徴を用いて、後退誤差解析および代入則を形式化する。
• 剪定（pruning）およびdeconcatenationコプロダクトを用いた再帰的公式により、代入特徴を導出し、修正されたベクトル場の計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 pre-Lieおよびpost-Lie代数は、ねじれを有する・ない多様体上での数値流れの代数的構造をどのように特徴づけられるか？
• RQ2 非可換ホップ代数は、Lie–Butcher級数法の後退誤差解析において果たす役割は何か？
• RQ3 DynkinおよびEulerianなイデムポテン（idempotents）は、非-autonomous系および構造保存型積分法の解析においてどのように現れるか？
• RQ4 Lie–Butcher級数の代入則の背後にある代数的メカニズムは何か？また、ホップ代数における畳み込みとどのように関係するか？
• RQ5 LB級数における交換子の消滅が、与えられた次数までに数値積分法の構造を完全に特徴づけられるか？

主な発見

• 微分方程式の正確な解は、木の交換子を含まないLie–Butcher級数として表現可能であり、構造保存型法はその次数までに交換子がゼロでなければならないことを示唆している。
• 指数Euler法は、自明なLB級数 γEuler = に対応し、代入特徴 αt∗( ) = 1/2、αt∗( ) = 1/4 などが得られる。
• Lie-implicit中点法では、係数に対する再帰的公式が得られる：α( ) = 1/2、α(τ) = 1/(2^j j!) α(τ1)⋯α(τj) （τ = B+(τ1⋯τj) のとき）。
• LB級数の代入則は、BBf(α)(β) = Bf(α∗β) で与えられ、ここで α∗ は双対ペアリングおよび剪定操作を用いて定義されるD代数の準同型である。
• 代入特徴 αt∗ は、deconcatenationコプロダクトおよび剪定を含む再帰的公式を満たし、修正されたベクトル場の明示的計算が可能になる。
• 本フレームワークにより、ホップ代数およびオペラッドの代数的言語に埋め込むことで、次数条件および構造保存性の統一的取り扱いが可能になる。