[論文レビュー] On algebras of gauge transformations in a general setting

G. Sardanashvily|ArXiv.org|Nov 29, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、動的場およびゲージパラメータの任意の微分次数に依存するゲージ変換の一般化された代数的構造を、ファイバー束上の古典場理論において定式化する。このような変換が一貫した代数を形成するための必要十分条件は、それらがノルム的（nilpotent）なBRST作用素を生成することであると示され、これは非可換ゲージ理論におけるリー代数やL∞-代数の構造を、オフシェルおよびオンシェルの両設定に一般化する。この結果は、系統的なジャンボルダおよび重み付き微分代数の枠組みによって得られる。

ABSTRACT

We consider a Lagrangian system on a fiber bundle and its gauge transformations depending on derivatives of dynamic variables and gauge parameters of arbitrary order. We say that gauge transformations form an algebra if they generate a nilpotent BRST operator.

研究の動機と目的

• 動的場およびゲージパラメータの任意の微分次数に依存するゲージ変換のための一貫した代数的構造を定義すること。
• このようなゲージ変換が一貫した代数に閉じるための条件を定式化し、有限次元リー代数およびsh-Lie代数を一般化すること。
• ゲージ変換が代数を形成するための必要十分条件として、BRST作用素のノルム性を確立すること。
• この形式的枠組みをオフシェルおよびオンシェルの両設定に拡張し、一般化された交換関係およびジャコビ恒等式を可能にすること。

提案手法

• 本稿は、場の配置およびそれらの微分を任意の次数まで記述するため、ジャンボルダ $J^rY$ および無限次元ジャンボルダ $J^∞ Y$ を用いる。
• 水平微分 $d_H$ と垂直微分 $d_V$ を備えた重み付き微分代数 ${\cal O}^*_{\infty}Y$ を導入し、ラグランジアンおよびオイラー＝ラグランジュ作用素の定式化を可能にする。
• ゲージ変換は、バンドル積 $E = Y \times_X V$ 上の微分作用素 $\upsilon$ として表現され、ゲージパラメータ $\xi^r$ 及びそのジャンボルダに線形であり、垂直接続バンドル $VY$ に値を持つ。
• 作用素 $\upsilon$ は、場および奇数のゴースト $c^r$ の代数上の重み付き導分へと拡張され、BRST変換 $\upsilon = \sum \upsilon^{i,\Lambda}_r c^r_\Lambda \partial_i + u^r \partial_r$ を定義する。
• BRST作用素のノルム性は、方程式 (36) から (41) までの系によって強制され、これはリー括弧およびジャコビ恒等式を一般化する。
• この形式的枠組みは、主バンドルゲージ理論に適用され、BRST作用素が明示的に構成され、ノルム的であることが示され、ゲージ対称性の代数的閉包が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 場およびパラメータの任意の微分次数に依存するゲージ変換が、どのような条件下で一貫した代数を形成するか。
• RQ2 このような変換の一般化された交換関係およびジャコビ恒等式を、幾何学的かつ代数的枠組みでどのように定式化できるか。
• RQ3 BRST作用素のノルム性が、ゲージ対称性の代数的構造を定義する上で果たす正確な役割は何か。
• RQ4 一般化された構造定数 $u^{r}_{(k)pq}$ は、場の配置およびその微分にどのように依存するか。
• RQ5 ゲージ対称性の代数的閉包は、オンシェルにおいても一貫して定義可能であり、これはオフシェル構造をどのように一般化するか。

主な発見

• 本稿は、ゲージ変換が代数を形成するための必要十分条件が、それらがノルム的BRST作用素を生成することであると確立し、代数的閉包の普遍的基準を提供する。
• ノルム性条件 (36) から (41) までが、リー括弧およびジャコビ恒等式を一般化し、構造定数 $u^{r}_{(k)pq}$ が場の配置およびその微分に依存することを示す。
• 線形ゲージ変換の場合、一般化された構造定数 $u^{r}_{(2)pq}$ は場変数に依存せず、標準的なリー代数の構造定数に一致する。
• 主バンドルゲージ理論におけるBRST作用素は明示的に構成され、ノルム的であることが示され、この設定におけるゲージ対称性の代数的整合性が確認される。
• 形式的枠組みは、オフシェルおよびオンシェルの両方の代数を扱うことができ、オンシェルの閉包は、オイラー＝ラグランジュ方程式の下でのノルム性を要求することで定義される。
• 任意のラグランジアンに対して自明なゲージ対称性が存在することは示され、しかし主な結果は、ノルム的BRST作用素によって生成される非自明な代数に焦点を当てる。