[論文レビュー] On almost holomorphic Lagrangian fibrations

Daisuke Matsushita|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、特異的でない正則的ラグランジュ被覆写像の下でのアーリュームラインバンドルの引き戻しがネフであることを証明し、ラグランジュ被覆写像の被約的半剛性を確立する重要な技術的結果を提示する。証明は、特異性の解消、シンプレクティック幾何学、および被約的正則多様体の被約的シンプレクティック多様体の被約的幾何におけるネフ除集合の性質を用いる。

ABSTRACT

We prove that the pull back of an ample line bundle by an almost holomorphic Lagrangian fibration is nef. As an application, we show birational semi rigidity of Lagrangian fibrations.

研究の動機と目的

• 特異的でない正則的ラグランジュ被覆写像の下でのアーリューム除集合の引き戻しがネフであることを確立すること。
• このような被覆写像が被約的半剛性であることを証明すること、すなわち、2つのこのような被覆写像の間の任意の被約的写像が、基底空間に同型を誘導しなければならないこと。
• 被約的変形を用いて、引き戻しを真のラグランジュ被覆写像の一部として幾何的に実現すること。
• プロジェクト型シンプレクティック多様体にラグランジュトーラスを含む場合に、ラグランジュ被覆写像が存在するという予想的問いを解決すること。

提案手法

• 有理被覆写像の特異性を被約的同型写像によって滑らかなモデルに解消すること。
• 解消後の写像 $ g: Y \to S $ を用いた引き戻しの定義を用いる：$ f^*D_S = \nu_* g^*D_S $。
• 例外的除集合の押し出しの消失を用いて、引き戻しが解消の選択に依存せず、正しく定義されることを保証すること。
• シンプレクティック幾何学の応用：シンプレクティック形式のファイバーへの制限とそのコhomology的性質を分析することで、アーリューム除集合の引き戻しがネフのまま保たれることを示すこと。
• 押し出しのネフ性と被約的正則多様体上の除集合の半正則性を用いて、真のラグランジュ被覆写像を構成すること。
• [Mat08] におけるネフ次元と半正則性に関する結果を被約的幾何学の文脈で応用し、ラグランジュ被覆写像構造の存在を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的でない正則的ラグランジュ被覆写像の下でのアーリューム除集合の引き戻しは、必然的にネフか？
• RQ2 プロジェクト型シンプレクティック多様体にラグランジュ被覆写像が存在するならば、その被覆写像構造は被約的半剛性を示すか？
• RQ3 特異的でない正則的ラグランジュ被覆写像は、被約的変形によって真の正則的ラグランジュ被覆写像に変形可能か？
• RQ4 どのような条件下で、ラグランジュトーラスを含むプロジェクト型シンプレクティック多様体はラグランジュ被覆写像を許容するか？
• RQ5 アーリューム除集合の引き戻しがネフであることは、全空間にラグランジュ被覆写像構造が存在することを示唆するか？

主な発見

• 特異的でない正則的ラグランジュ被覆写像の下でのアーリューム除集合の引き戻しがネフであることは、定理 1.1 で確立された。
• プロジェクト型シンプレクティック多様体上の特異的でない正則的ラグランジュ被覆写像は、被約的変形により真のラグランジュ被覆写像を誘導することができ、これは系 1.1 で示された。
• プロジェクト型シンプレクティック多様体上のラグランジュ被覆写像の間の任意の被約的写像は、基底空間に同型を誘導しなければならず、これが被約的半剛性を証明する（系 1.2）。
• 証明は、引き戻し除集合の押し出しのネフ性と半正則性に依拠しており、Iitaka 被覆写像を用いて新たな被覆写像を構成できる。
• 線形系の完全交叉を比較することで、元の被覆写像の一般ファイバーがラグランジュ的であることが示され、これは被覆写像が正則的でない場合でも成り立つ。
• 全空間が被約的正則的シンプレクティック多様体である限り、一般ファイバーがラグランジュ的であると仮定しなくても結果は成り立つ。これは註 1.2 で指摘されている。