[論文レビュー] On amenability of group algebras, II: graded algebras

Laurent Bartholdi|ArXiv.org|Nov 22, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限生成アメーブル群に関連する階数付き代数の成長を調査し、増幅イデアルフィルトレーションに関して群環 $\Bbbk G$ の関連する階数付き代数に注目する。$G$ がアメーブルである場合、関連する階数付き代数は指数的成長を示さず、これは階数付き代数のアメーブル性を示す。これはヴェルシクの予想とドゥ・ラ・ハーブの問いを解決する。

ABSTRACT

This paper continues math.GR/0608302's study of amenability of affine algebras (based on the notion of almost-invariant finite-dimensional subspace), and applies it to graded algebras associated with finitely generated groups. Due to a mistake in Lemma 4.3, the main statements of the present paper should not be considered as proven. The results in Sections 2 and 3 are nevertheless valid.

研究の動機と目的

• アメーブルで有限生成な群 $G$ に対して、関連する階数付き代数 $\overline{\Bbbk G}$ の指数的成長を確立すること。
• ヴェルシクが提起した、アメーブル群における $\operatorname{rank}(\varpi^n / \varpi^{n+1})$ の指数的成長に関する予想を解決すること。
• ケイリー図におけるデッドエンドと関連する群計量に基づく群環の階数付き変形のアメーブル性を調査すること。
• 結果を $\mathbb{Z}$ や $\mathbb{F}_p$ を含む任意の可換環 $\Bbbk$ に拡張すること。
• 下位中心系列の商 $\gamma_n(G)/\gamma_{n+1}(G)$ を分析し、アメーブルな $G$ に対してそのランクが指数的成長を示さないことを示すこと。

提案手法

• アフィン代数上のモジュールのアメーブル性を、ほぼ不変な有限ランク部分空間を用いて定義する。
• 増幅イデアル $\varpi$ のべきによる群環 $\Bbbk G$ のフィルトレーションを用いて、関連する階数付き代数 $\overline{\Bbbk G} = \bigoplus_{n \geq 0} \varpi^n / \varpi^{n+1}$ を構成する。
• もし $G$ がアメーブルであれば、$\overline{\Bbbk G}$ が指数的成長を示すことを証明する。これは基底変換と次元部分群を用いて $\mathbb{Z}G$ と $\mathbb{F}_pG$ に還元することで行う。
• 部分乗法性とフェケーテの補題を用いて、$r_n = \operatorname{rank}(\varpi^n / \varpi^{n+1})$ の成長率を抑え込む。
• $\overline{\mathbb{F}_p G}$ が $p$-次元部分群に対して指数的成長を示す事実を用い、ねじれの考察によりこれを $\mathbb{Z}G$ に持ち上げる。
• 古典的次元部分群定理と $\delta_n(G)/\gamma_n(G)$ が有限2群であるという結果を用いて、$\operatorname{rank}(\gamma_n(G)/\gamma_{n+1}(G))$ を抑え込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成アメーブル群 $G$ の関連する階数付き代数 $\overline{\Bbbk G}$ は指数的成長を示すか？
• RQ2 アメーブルな $G$ に対して、$\gamma_n(G)/\gamma_{n+1}(G)$ のランクは指数的成長を示すか？
• RQ3 デッドエンドの存在といった、$G$ のアメーブル性より弱い条件下でも、$\Bbbk G$ の階数付き変形のアメーブル性を確立できるか？
• RQ4 ヴェルシクが予想したように、$\mathbb{Z}$ 上のアメーブル群に対して $\varpi^n / \varpi^{n+1}$ の成長は指数的か？
• RQ5 ケイリー図にデッドエンドを含む非アメーブル群に対しても、$\overline{\Bbbk G}$ のアメーブル性は成立するか？

主な発見

• 任意のアメーブルで有限生成な群 $G$ に対して、関連する階数付き代数 $\overline{\Bbbk G}$ は指数的成長を示す。すなわち、$\limsup \sqrt[n]{r_n} = 1$ であり、$r_n = \operatorname{rank}(\varpi^n / \varpi^{n+1})$ である。
• ヴェルシクの予想、すなわち $\mathbb{Z}$ 上のアメーブル群 $G$ に対して $\operatorname{rank}(\varpi^n / \varpi^{n+1})$ が指数的成長を示すという予想が確認された。
• アメーブルな $G$ に対して、下位中心系列の商 $\gamma_n(G)/\gamma_{n+1}(G)$ のランクは指数的成長を示す。これは $\mathbb{F}_2G$ と $\mathbb{Z}G$ への還元により示された。
• 関連する階数付き代数 $\overline{\Bbbk G}$ はアメーブルである（$G$ がアメーブルであるか、無限個のデッドエンドを持つ場合、完全にアメーブルである）。これは指数的成長と命題1.3のおかげである。
• 結果は任意の可換環 $\Bbbk$ に拡張可能である。$\operatorname{rank}_{\Bbbk}(\overline{\Bbbk G}/\overline{\varpi}^n)$ は $\mathbb{Z}$-ランクによって抑えられ、指数的成長が保たれる。
• 逆は成り立たない：$d \geq 3$ の $SL(d,\mathbb{Z})$ は非アメーブルであるが、その関連する階数付き代数は依然として指数的成長を示す。これは合同部分群構造のおかげである。