[論文レビュー] On an implementation of the Solovay-Kitaev algorithm

Attila Nagy|ArXiv.org|Jun 8, 2006

advanced mathematical theories参考文献 2被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、指数的準備段階を多項式時間のヒューリスティック手法に置き換えることで、量子ゲート合成のためのソロバ・キタエフアルゴリズムの多項式時間かつ空間効率的な実装を提示する。この手法は、製品長を増加させることで時間とメモリを削減する。また、行列の対角化を必要としないユニタリ行列の新しい分解法を導入し、SU(d)内の任意のユニタリ行列を多項式対数的深さかつ制御された誤差増大でスケーラブルに近似可能にする。

ABSTRACT

In quantum computation we are given a finite set of gates and we have to perform a desired operation as a product of them. The corresponding computational problem is approximating an arbitrary unitary as a product in a topological generating set of $SU(d)$. The problem is known to be solvable in time $polylog(1/ε)$ with product length $polylog(1/ε)$, where the implicit constants depend on the given generators. The existing algorithms solve the problem but they need a very slow and space consuming preparatory stage. This stage runs in time exponential in $d^2$ and requires memory of size exponential in $d^2$. In this paper we present methods which make the implementation of the existing algorithms easier. We present heuristic methods which make a time-length trade-off in the preparatory step. We decrease the running time and the used memory to polynomial in $d$ but the length of the products approximating the desired operations will increase (by a factor which depends on $d$). We also present a simple method which can be used for decomposing a unitary into a product of group commutators for $2

研究の動機と目的

• d > 2 の SU(d) における古典的ソロバ・キタエフ準備段階の指数的計算コストに対処する。
• 初期カバー集合の生成における時間的・メモリ的複雑度を、d に関して指数的から多項式的へ削減する。
• 製品長を増加させることで実行可能時間となるヒューリスティック手法を用いて、近似グループカバーを構築する。
• 行列の対角化を回避するユニタリ行列の交換子への代替的分解法を提供し、記号計算システムとの互換性を向上させる。
• 多量子ビット量子回路におけるソロバ・キタエフアルゴリズムのスケーラブルかつ実用的な実装を可能にする。

提案手法

• 製品集合 Γ の指数的時間生成を、d に関して多項式的時間と多項式的空間で初期カバーを構築するヒューリスティックな多項式時間手法に置き換える。
• 元のソロバ・キタエフフレームワークからの「収縮」「拡大」「ズーム」技術を採用し、反復的に近似を精緻化する。
• トレースレスエルミート行列を有界ノルムのエルミート演算子の交換子に分解するため、G_{j,j} = -(d-1)/2 + (j-1) を持つ対角行列 G を用いる。
• これらのエルミート生成子の指数化によりユニタリ分解を構築し、作用素ノルム不等式を用いて誤差境界を保証する。
• d < 256 かつ 4|d の場合、レムマ 4.1 を用いてハミルトニアンの非対角部および対角部を交換子に分解し、対角化を回避する（フーリエ行列またはアダマール行列による共役を用いて）。
• 三角不等式および作用素ノルムの性質を用いて、ネストされた交換子および指数関数における誤差伝搬を境界付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ソロバ・キタエフアルゴリズムの指数的準備段階を、近似品質を損なわせることなく多項式時間の代替に置き換えることは可能か？
• RQ2 行列の対角化を必要とせずに、ユニタリ行列を群の交換子に分解することはどのように達成できるか？
• RQ3 近似製品の長さと準備段階の実行時間／メモリコストとの間にはどのようなトレードオフがあるか？
• RQ4 初期カバーの品質をどの程度向上させれば、再帰的近似ステップにおける誤差増大を低減できるか？
• RQ5 数値的に高価な操作（例：対角化）を回避することで、記号計算システムにおいて d > 2 に対してもアルゴリズムを実用可能にすることができるか？

主な発見

• 準備段階の計算量が d に関して指数的から多項式的へ削減されたが、それに伴い製品長が d に依存する係数で増加した。
• n 回目の反復における誤差境界は εₙ ≤ c_approx · εₙ₋₁^(3/2) を満たし、c_approx = 16(d(d−1)/2)^(1/2) + d + 8(d(d−1)/2)^(3/2) である。このため、多項式対数的収束が保証される。
• 近似製品の長さは lₙ = 8·lₙ₋₁ に従い、目標精度 ε に対して O(log(1/ε)) の深さを持つ。
• d < 256 かつ 4|d の場合、フーリエ行列またはアダマール行列による共役を用いることで、行列の対角化を回避し、GAP などのシステムとの互換性を実現した。
• アルゴリズムは理論的な多項式対数的スケーリングを維持しており、ヒューリスティックな準備段階のため、製品長の定数係数が増加している。
• 本手法はスケーラブルである。初期カバーの品質を調整することで、実行時間と製品長のトレードオフを自在に制御可能である。