[論文レビュー] On an Index Theorem of Chang, Weinberger and Yu

Thomas Schick, Mehran Seyedhosseini|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、境界を持つコンパクトなスピン多様体におけるChang、Weinberger、Yuの相対的インデックスの消滅定理について、概念的かつ直接的な証明を提供する。相対的インデックスは、自然な写像による絶対的K理論的インデックスの像として得られることを示している。幾何的に動機づけられたC∗-完備化$ C^*_q $を導入することにより、最大Roe代数構成における基礎的問題を解決し、多様体全体に正のスカラー曲率が存在するならば相対的インデックスが消えることを確立する。

ABSTRACT

In this paper we prove a strengthening of a theorem of Chang, Weinberger and Yu on obstructions to the existence of positive scalar curvature metrics on compact manifolds with boundary. They construct a relative index for the Dirac operator, which lives in a relative K-theory group, measuring the difference between the fundamental group of the boundary and of the full manifold. Whenever the Riemannian metric has product structure and positive scalar curvature near the boundary, one can define an absolute index of the Dirac operator taking value in the K-theory of the C*-algebra of fundamental group of the full manifold. This index depends on the metric near the boundary. We prove that the relative index of Chang, Weinberger and Yu is the image of this absolute index under the canonical map of K-theory groups. This has the immediate corollary that positive scalar curvature on the whole manifold implies vanishing of the relative index, giving a conceptual and direct proof of the vanishing theorem of Chang, Weinberger, and Yu. To take the fundamental groups of the manifold and its boundary into account requires working with maximal C* completions of the involved *-algebras. A significant part of this paper is devoted to foundational results regarding these completions.

研究の動機と目的

• Chang、Weinberger、Yuによる相対的インデックスの消滅定理の元々の証明における基礎的ギャップを解消すること。
• 絶対的および相対的K理論的インデックスを用いて、消滅定理の新しい、直接的かつ概念的な証明を提供すること。
• 完全な函手的性質を回復させ、粗いインデックス理論における幾何的議論を簡略化する、幾何的に動機づけられたC∗-完備化$ C^*_q $を構築すること。
• Chang、Weinberger、Yuが定義した相対的インデックスと、境界作用素が可逆である場合の絶対的インデックスとの間の明確な関係を確立すること。
• 多様体が正のスカラー曲率計量を持つ場合、絶対的インデックスの自然な像を通じて相対的インデックスが消えることを示すこと。

提案手法

• 正のスカラー曲率のもとで境界作用素が可逆であることを利用し、境界付き多様体上のディラック作用素に対して絶対的K理論的インデックス$ \mathrm{Ind}_{\pi_1(M)}(g) \in K_*(C^*_q(\pi_1(M))) $を定義する。
• すべての正規商$ \Gamma/N $を組み込むことで、群C∗-代数の新しい$ C^*_q $-完備化を導入し、完全な函手的性質と幾何的制御を回復する。
• 相対的Kホモロジーと相対的インデックス写像を用いて、相対的インデックス$ \mu([M,N]) \in K_*(C^*_q(\pi_1(M), \pi_1(N))) $を構成する。
• 長大な完全系列におけるK理論群の自然な写像$ j $に関して、$ j(\mathrm{Ind}_{\pi_1(M)}(g)) = \mu([M,N]) $を証明する。
• ノルム収束の議論と、ディラック作用素の関数およびカットオフ関数を含む明示的な作用素構成を用いて、二つのインデックス類が互いに写像されることを示す。
• ボット周期性とススペンション同型を用いて、ススペンション構成$ M \times S^1 $により、偶数次元から奇数次元への結果の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Chang、Weinberger、Yuの消滅定理を、より直接的かつ概念的な方法で証明するにはどうすればよいか？
• RQ2 正のスカラー曲率の障害に関して、境界作用素が可逆であるディラック作用素の絶対的インデックスと、Chang、Weinberger、Yuが定義した相対的インデックスとの間の明確な関係は何か？
• RQ3 完全な函手的性質を保ち、最大Roe代数の解析を簡略化する、幾何的に動機づけられたC∗-完備化を構築できるか？
• RQ4 新しい$ C^*_q $-完備化は、特にノビコフ予想に関連して、障害理論に必要なすべての情報を保持しているか？
• RQ5 インデックス理論を偶数次元から奇数次元への一貫性があり、計算的に明確な方法で拡張できるか？

主な発見

• Chang、Weinberger、Yuの相対的インデックス$ \mu([M,N]) $は、自然な写像$ j $による絶対的インデックス$ \mathrm{Ind}_{\pi_1(M)}(g) $の像である。$ j(\mathrm{Ind}_{\pi_1(M)}(g)) = \mu([M,N]) $を証明する。
• 新しい$ C^*_q $-完備化は、すべての正規商$ \Gamma/N $を組み込み、完全な函手的性質を回復させ、技術的複雑性を避けて幾何的議論を可能にする。
• 絶対的インデックス$ \mathrm{Ind}_{\pi_1(M)}(g) $の構成は境界付近の計量に依存し、多様体全体に正のスカラー曲率が存在する場合には消える。これは相対的インデックスの消滅を意味する。
• 証明は、カットオフ作用素およびディラック作用素の関数のノルム収束に依拠し、$ \| \tilde{q}^{N}_{D,R}(0)(t) - q_p(0) \| + \| \tilde{q}_{D,R}(\cdot)(t) - q(\cdot)(1) \| \to 0 $が$ t \to 1 $および$ R \to \infty $のとき成り立つことを示す。
• 正のスカラー曲率のもとで絶対的インデックスが消えることにより、相対的インデックスの消滅が示され、元の定理の直接的かつ概念的な証明が得られる。
• ススペンション構成$ M \times S^1 $を用いて、K"unneth同型およびススペンション同型を用いて、偶数次元での結果を奇数次元へと拡張できる。