[論文レビュー] On an infinite series for $(1+1/x)^x$

Cristinel Mortici, Yue Hu|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2014

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$x + \frac{11}{12}$ の負のべき級数を用いた $(1+1/x)^x$ の改善された漸近展開を構築し、$\varepsilon = \frac{11}{12}$ がこのようなシフトの中で最も速い収束をもたらすことを証明する。係数 $d_n$ の再帰関係を導出し、積分表現も提示した。また、YangのCarleman型不等式に関する予想を、シフトパラメータの最適化によって拡張した。

ABSTRACT

The aim of this paper is to construct a new expansion of $(1+1/x)^x$ related to Carleman's inequality. Our results extend some results of Yang [Approximations for constant e and their applications J. Math. Anal. Appl. 262 (2001) 651-659].

研究の動機と目的

• Yangが提起した、展開 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e\left(1 - \sum_{n=1}^\infty \frac{d_n}{(x+\varepsilon)^n}\right)$ における最適なシフト $\varepsilon$ に関する未解決問題を解決すること。
• 収束速度が最も速くなるように $\varepsilon = \frac{11}{12}$ を選ぶことにより、$(1+1/x)^x$ の高速収束級数展開を構築すること。
• 中心を $x + \frac{11}{12}$ に置いた級数展開における係数 $d_n$ の再帰関係を導出すること。
• 関数 $g(s) = \frac{1}{\pi} s^s (1-s)^{1-s} \sin(\pi s)$ を用いた係数 $d_n$ の積分表現を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、$n^k(\omega_n - \omega_{n+1})$ の極限が $\omega_n$ の収束速度と関連することを示す補題1を用い、最適なシフト $\varepsilon = \frac{11}{12}$ を特定した。
• 漸近的マッチングを用いて係数を計算する形で、$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e\left(1 - \frac{1/2}{n+11/12} - \frac{5/288}{(n+11/12)^3} - \cdots \right)$ のような級数展開を導出した。
• 生成関数 $g(t) = \left(\frac{1 - \frac{11}{12}t}{1 + \frac{1}{12}t}\right)^{\frac{11}{12} - \frac{1}{t}}$ を用い、$g(t) = e(1 + c_1 t + c_2 t^2 + \cdots)$ を満たすようにし、$d_n$ の再帰関係を確立した。
• 係数 $d_n$ は、$d_0 = -1$ を満たす再帰関係 $d_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k-1} d_k$ で与えられ、$a_n$ は11の累乗と符号の交互に現れる項を含む。
• $(x + 11/12)^{-1}$ を代入することで、既知の $e - (1+1/x)^x$ の積分公式を $d_n$ に適用し、$d_n$ の積分表現を導出した。
• 積分公式 $d_n = \frac{(-1)^n}{12^{n-1}} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{e} \int_0^1 \frac{(12s-11)^{n-1} - 1}{s-1} g(s) ds \right)$ は $n \geq 2$ に対して導出された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(1+\frac{1}{x})^x = e\left(1 - \sum_{n=1}^\infty \frac{d_n}{(x+\varepsilon)^n}\right)$ の級数展開において、$\varepsilon \in (0,1]$ のうち、収束速度を最適化する $\varepsilon$ の値は何か？
• RQ2 中心を $x + \frac{11}{12}$ に置いた展開における係数 $d_n$ に対して、再帰関係を導出できるか？
• RQ3 関数 $g(s) = \frac{1}{\pi} s^s (1-s)^{1-s} \sin(\pi s)$ を用いた積分表現で、係数 $d_n$ を表現できるか？
• RQ4 シフト $\varepsilon = \frac{11}{12}$ を用いた級数は、$n+1$ を中心とするそれらよりも収束が速いか？
• RQ5 シフトを $\frac{11}{12}$ に最適化した場合の、$(1+1/x)^x$ の漸近展開の正確な構造は何か？

主な発見

• $\varepsilon = \frac{11}{12}$ は、$(1+1/x)^x$ の級数展開において、$(0,1]$ 内のすべての $\varepsilon$ に対して最適であり、最も速い収束速度をもたらす。
• 級数 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e\left(1 - \frac{1/2}{n+11/12} - \frac{5/288}{(n+11/12)^3} - \cdots \right)$ は、$k$ 項で切り捨てたときの誤差が $n^{-k}$ のオーダーとなり、以前の展開の $n^{-(k-1)}$ オーダーを上回る。
• 係数 $d_n$ は再帰関係 $d_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k-1} d_k$ および $d_0 = -1$ を満たし、$a_n = \frac{n+1}{12^{n+2}} \left( \frac{(-1)^{n+1}11 - 11^{n+2}}{n+1} - \frac{(-1)^n - 11^{n+2}}{n+2} \right)$ で与えられる。
• 積分表現 $d_n = \frac{(-1)^n}{12^{n-1}} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{e} \int_0^1 \frac{(12s-11)^{n-1} - 1}{s-1} g(s) ds \right)$ は $n \geq 2$ に対して成り立ち、$g(s) = \frac{1}{\pi} s^s (1-s)^{1-s} \sin(\pi s)$ である。
• 最初のいくつかの係数は $d_1 = \frac{1}{2}$、$d_2 = 0$、$d_3 = \frac{5}{288}$、$d_4 = \frac{139}{17280}$、$d_5 = \frac{119}{23040}$ であり、収束の向上が確認された。