[論文レビュー] On an optimal quadrature formula for approximation of Fourier integrals in the space $L_2^{(1)}$

A.R. Hayotov, Soomin Jeon+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2019

Numerical methods in inverse problems被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$L_2^{(1)}[a,b]$ 空間におけるフーリエ積分の近似のための最適な数値積分公式を構築する。誤差関数のノルムを最小化する手法を用い、離散的第二導関数作用素のアナログから得られる係数を導出する。$C^2[a,b]$ 関数に対して $O(h^2)$ 収束を達成し、特に内部領域で MATLAB の組み込み関数 iradon と同等の性能を示す、X線CT再構成に成功している。

ABSTRACT

This paper deals with the construction of an optimal quadrature formula for the approximation of Fourier integrals in the Sobolev space $L_2^{(1)}[a,b]$ of non-periodic, complex valued functions which are square integrable with first order derivative. Here the quadrature sum consists of linear combination of the given function values in a uniform grid. The difference between the integral and the quadrature sum is estimated by the norm of the error functional. The optimal quadrature formula is obtained by minimizing the norm of the error functional with respect to coefficients. Analytic formulas for optimal coefficients can also be obtained using discrete analogue of the differential operator $d^2/d x^2$. In addition, the convergence order of the optimal quadrature formula is studied. It is proved that the obtained formula is exact for all linear polynomials. Thus, it is shown that the convergence order of the optimal quadrature formula for functions of the space $C^2[a,b]$ is $O(h^2)$. Moreover, several numerical results are presented and the obtained optimal quadrature formula is applied to reconstruct the X-ray Computed Tomography image by approximating Fourier transforms.

研究の動機と目的

• Sobolev空間 $L_2^{(1)}[0,1]$ における形 $\int_0^1 e^{2\pi i \omega x} \varphi(x) dx$ のフーリエ積分を近似する最適な数値積分公式を開発すること。
• $L_2^{(1)}$ 空間における誤差関数のノルムを最小化することで、最適係数の明示的解析式を導出すること。
• 線形変換を用いて、最適公式を $[0,1]$ から任意の区間 $[a,b]$ に拡張すること。
• 離散的なラドン変換からのX線コンピュータトモグラフィー（CT）再構成におけるこの公式の有効性を検証すること。
• 提案された最適数値積分公式の性能を、MATLAB の組み込み関数 iradon と比較して、CT再構成の文脈で評価すること。

提案手法

• 均等なグリッド点における関数値の線形結合として数値積分規則を定式化し、最適化すべき係数を導出する。
• 誤差関数 $\ell$ を、正確なフーリエ積分と数値積分和の差として定義し、ディラックのデルタ関数および特性関数を用いて表現する。
• Sardの最適数値積分法を用いて、双対空間 $L_2^{(1)*}[0,1]$ における誤差関数のノルムを最小化する。
• 微分作用素 $d^2/dx^2$ の離散的アナログを用いて、最適係数の明示的公式を導出する。
• 得られた公式を用いてフーリエ変換を近似し、フィルタドバックプロジェクションを介してCT画像を再構成する。
• テスト関数およびシップ＝ローガン・ファントムを用いた数倾実験を、変化する積分区間およびグリッドサイズで実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L_2^{(1)}[0,1]$ におけるフーリエ積分の数値積分公式の最適係数の明示的公式は何か？
• RQ2 $C^2[a,b]$ 関数に対して、最適数値積分公式の収束次数は何か？
• RQ3 提案された最適数値積分公式の性能は、MATLAB の iradon 関数と比較してどのように異なるか？
• RQ4 不連続性や急激な変化を示す関数の再構成において、最適数値積分公式は高い精度を維持するか？
• RQ5 最適数値積分公式は、$[0,1]$ から任意の区間 $[a,b]$ に効果的に拡張可能か？

主な発見

• 最適数値積分公式は、$C^2[a,b]$ 関数に対して $O(h^2)$ の収束次数を達成する。
• 公式はすべての一次多項式に対して正確であり、2次精度を裏付ける。
• 誤差関数のノルムは、$d^2/dx^2$ の離散的アナログから得られる係数によって最小化される。
• 数値結果から、積分区間を $[-25,25]$ に広げると $[-1,1]$ よりもより高い再構成精度が得られる。
• シップ＝ローガン・ファントムの再構成において、提案された公式は内部領域でPSNRが29.644、$E_{\max} = 0.3895$ を達成し、MATLAB の iradon 関数と同等の性能を示す。
• 外縁部を除いた場合、提案手法は内部領域の精度で iradon を上回り、MSE が $1.9265 \times 10^{-4}$ 対 $1.9613 \times 10^{-4}$ であった。