[論文レビュー] On an optimal quadrature formula in Sobolev space $L_2^{(m)} (0,1)$

Kh. M. Shadimetov, A.R. Hayotov+1 more|ArXiv.org|Dec 11, 2008

Differential Equations and Boundary Problems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、関数値を $N+1$ 個のノードと端点における1階微分値を用いて積分するための、Sobolev空間 $L_2^{(m)}(0,1)$ 内の最適な求積公式を構築する。任意の $N$ および $m \geq 2$ に対して、最適係数の明示的表現と誤差関数のノルムを導出し、$m=2$ および $m=3$ の場合にEuler-Maclaurinの公式が最適であることを示す。主な結果として、誤差ノルムの二乗の閉形式が得られ、$m=2$ および $m=3$ に対してそれぞれ $\|\ell\|^2 = \frac{h^4}{720}$ および $\frac{h^6}{30240}$ で検証されている。

ABSTRACT

In this paper in the space $L_2^{(m)}(0,1)$ the problem of construction of optimal quadrature formulas is considered. Here the quadrature sum consists on values of integrand at nodes and values of first derivative of integrand at the end points of integration interval. The optimal coefficients are found and norm of the error functional is calculated for arbitrary fixed $N$ and for any $m\geq 2$. It is shown that when $m=2$ and $m=3$ the Euler-Maclaurin quadrature formula is optimal.

研究の動機と目的

• 関数値を $N+1$ 個の等間隔ノードと端点における1階微分値を用いて積分する、Sobolev空間 $L_2^{(m)}(0,1)$ 内の最適な求積公式を構築すること。
• 双対空間 $L_2^{(m)*}(0,1)$ 内の誤差関数のノルムを最小化する係数 $C[\beta]$、$A$、および $B$ を特定すること。
• 任意の $N$ および $m \geq 2$ に対して、誤差関数のノルムの二乗の閉形式表現を導出し、SardおよびSobolevの研究を一般化すること。
• この設定において、Euler-Maclaurinの求積公式が $m=2$ および $m=3$ の場合に最適であることを証明すること。

提案手法

• $h = 1/N$ として、求積公式を $\int_0^1 \varphi(x)dx \approx \sum_{\beta=0}^N C[\beta]\varphi(\beta h) + A\varphi'(0) + B\varphi'(N)$ の形に定式化する。
• 誤差関数 $\ell(x)$ をDiracのデルタ関数およびその微分を含む分布として定義し、双対Sobolev空間内でのノルムを計算する。
• Sobolev空間 $L_2^{(m)}(0,1)$ 内の極値関数および再生核理論を用いて、$\|\ell\|_{L_2^{(m)*}}$ を最小化する最適係数を導出する。
• Euler多項式、ベルヌーイ数、および有限差分の性質を適用して、誤差ノルムの表現を簡略化する。
• 母関数および留数計算の性質を用いて、ベルヌーイ数および特徴方程式の根 $q_k$ を含む、簡潔な表現に至る一般式 $\|\ell\|^2$ を導出する。
• 既知の恒等式を用いて、一般式に $m=2$ および $m=3$ を代入し、簡略化することで、一般結果の検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数値を $N+1$ 個の等間隔ノードと端点における1階微分値を用いる、$L_2^{(m)}(0,1)$ 内の求積公式に対して、最適な係数 $C[\beta]$、$A$、および $B$ は何か？
• RQ2 任意の $N$ および $m \geq 2$ に対して、双対空間 $L_2^{(m)*}(0,1)$ 内の誤差関数のノルムの二乗の正確な表現は何か？
• RQ3 Euler-Maclaurinの求積公式は、$m=2$ および $m=3$ の場合に $L_2^{(m)}(0,1)$ 内で最適か？
• RQ4 ベルヌーイ数および特徴方程式の根は、最適な公式における誤差ノルムにどのように寄与するか？
• RQ5 低次のSobolev空間（$m=2,3$）に対して、一般誤差ノルム式を簡略化し、明示的な閉形式を得られるか？

主な発見

• $m=2$ の場合、最適係数は $C[\beta] = h/2$（$\beta=0,N$）、$C[\beta] = h$（$1 \leq \beta \leq N-1$）、$A = h^2/12$、$B = -h^2/12$ であり、$\|\ell\|^2 = h^4/720$ を得る。
• $m=3$ の場合、同じ係数 $C[\beta]$、$A$、$B$ が最適であり、$\|\ell\|^2 = h^6/30240$ である。
• Euler-Maclaurinの求積公式は、$L_2^{(2)}(0,1)$ および $L_2^{(3)}(0,1)$ において、与えられた関数形に対して最適である。
• 一般誤差ノルム式にはベルヌーイ数 $B_k$、有限差分 $\Delta^i 0^k$、および基本関数から導かれる特徴方程式の根 $q_k$ が含まれる。
• 一般 $m$ に対する誤差ノルムの二乗は、$h^{2m}$、$h^{2m+1}$、および $q_k$ に依存する係数を含む有限和として表現され、奇数次のベルヌーイ数項が $B_{\alpha} = 0$（奇数 $\alpha > 1$）により相殺される。
• 導出過程により、誤差ノルムがSobolev空間内の極値関数条件から導かれた係数系を満たすとき、最小化されることを確認した。