[論文レビュー] On analogues of Arakawa-Kaneko zeta functions of Mordell-Tornheim type

Takuma Ito|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2016

Advanced Mathematical Identities参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、モルデル＝トロインハイム型のアラカワ＝カネコゼータ関数の類似物を導入し、これらの新しい関数とモルデル＝トロインハイム多重ゼータ関数との間の関数関係を確立する。整関数への解析接続を証明し、$ \zeta_{MT,3}(2,1,1;1) = 2\zeta(2)\zeta(3) - \zeta(5)$ などの恒等式を含む、多重ゼータ値の明示的公式を導出する。

ABSTRACT

In this paper, we construct certain analogues of the Arakawa-Kaneko zeta functions. We prove functional relations between these functions and the Mordell-Tornheim multiple zeta functions. Furthermore we give some formulas among Mordell-Tornheim multiple zeta values as their applications.

研究の動機と目的

• アラカワ＝カネコゼータ関数をモルデル＝トロインハイム枠組みに一般化する。
• これらの新しいゼータ関数とモルデル＝トロインハイム多重ゼータ関数との間の関数関係を確立する。
• 関数関係の応用として、モルデル＝トロインハイム多重ゼータ値の明示的公式を導出する。
• 高次の多重積分およびより多くの変数を含む多重ゼータ関数へと結果を一般化する。

提案手法

• 任意の $\mathbf{k} \in \mathbb{N}^r$ および $\Re(s) > 1 - r$ に対して、関数 $\xi_{MT}(\mathbf{k};s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{t^{s-1}}{e^t - 1} \prod_{j=1}^r \operatorname{Li}_{k_j}(1 - e^{-t}) dt$ を定義する。
• 線形積分とガンマ関数の性質を用いて、$\xi_{MT}(\mathbf{k};s)$ の解析接続を整関数へ行う。
• 積分恒等式と母関数を用いて、$\xi_{MT}(\mathbf{k};s)$ とモルデル＝トロインハイムゼータ関数との間の関数関係を確立する。
• 留数計算と留数の変形法を用いて、負の整数における値を一般化されたポリベルヌーイ数 $C^{\mathbf{k}}_{m,MT}$ に結びつける。
• $g$ 重積を用いて一般化し、$\xi_{MT,g}(\mathbf{k}_1, \dots, \mathbf{k}_g; s)$ を定義することで、高次の多重ゼータ関数への枠組みを拡張する。
• 多重ゼータ値と二項係数、ポッヒハーマー記号を関連付けるマスターファンクション関係（定理15）を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アラカワ＝カネコゼータ関数は、多重ポリログラスを用いてモルデル＝トロインハイム設定にどのように一般化できるか？
• RQ2 新しいモルデル＝トロインハイム型ゼータ関数と古典的モルデル＝トロインハイム多重ゼータ関数との間にどのような関数関係が存在するか？
• RQ3 これらの関数関係から、モルデル＝トロインハイム多重ゼータ値の明示的公式を導出できるか？
• RQ4 一般化されたゼータ関数 $\xi_{MT,g}(\mathbf{k}_1, \dots, \mathbf{k}_g; s)$ の構造は何か？ そして、多重ゼータ値とどのように関係するか？
• RQ5 既知の文献に現れる恒等式を統一する高次の関数関係の一般化は存在するか？

主な発見

• $\Re(s) > 1 - r$ に対して、関数 $\xi_{MT}(\mathbf{k};s)$ は整関数へ解析接続可能であり、$m \in \mathbb{N}_0$ に対して $\xi_{MT}(\mathbf{k}; -m) = (-1)^m C^{\mathbf{k}}_{m,MT}$ が成り立つ。
• 関数関係が確立された：$\zeta(2)^2\zeta(s) - 2\zeta(2)\xi_{MT}(2;s) + \xi_{MT}(2,2;s) = \zeta_{MT,3}(2,2,0;s) + 2s\zeta_{MT,3}(2,1,0;s+1) + s(s+1)\zeta_{MT,3}(1,1,0;s+2)$。
• 明示的評価が得られた：$\zeta_{MT,3}(2,1,1;1) = 2\zeta(2)\zeta(3) - \zeta(5)$。
• 一般化された関数関係（定理15）は、$N$ 重積分とモルデル＝トロインハイムゼータ関数を、部分集合の和と多項係数を含む形で関連付ける。
• 補題が証明された：$\sum_{j=1}^g r_j! \, \xi_{MT,g-1}(\dots, \mathbf{1}_{r_j+1}, \dots; r_j+1) = \prod_{j=1}^g \zeta_{MT,r_j}(\{1\}^{r_j};1)$ であり、一般化されたゼータ値がゼータ関数の積に結びつく。
• 定理15の $N=2$ の場合、オイラー分解恒等式が回復される：$\zeta(k+1)\zeta(r+1) = \sum_{m=0}^k \binom{r+m}{r} \zeta(k+1-m, r+1+m) + \sum_{n=0}^r \binom{k+n}{k} \zeta(r+1-n, k+1+n)$。