[論文レビュー] On analyticity of static vacuum metrics at non-degenerate horizons

Piotr T. Chruściel|ArXiv.org|Feb 20, 2004

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、超曲面直交性を仮定しないまま、一般相対性理論における静的真空計量が非退化したキリングホライズンで解析的であることを確立している。対称性の性質とオズゴッドの補題を活用して、径方向および角度座標を用いた解析的座標アトラスをホライズン近傍に構成し、すべての計量成分がホライズンを越えて解析的に拡張可能であることを証明している。特に接続1形式θも、与えられた条件下で滑らかで解析的のままである。

ABSTRACT

We show that static metrics solving vacuum Einstein equations (possibly with a cosmological constant) are one-sided analytic at non-degenerate Killing horizons. We further prove analyticity in a two-sided neighborhood of "bifurcate horizons". It is a pleasure to dedicate this work to Prof. Staruszkiewicz, on the occasion of his 65th birthday.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における静的真空解が非退化キリングホライズンで解析的であることを確立すること。
• 超曲面直交性を仮定しない場合でも、計量および関連する幾何的構造が解析的のままであるかどうかを調査すること。
• 計量関数が境界まで解析的となるホライズンの片側近傍における座標アトラスを構成すること。
• 接続1形式θの振る舞いと、回転軸におけるその拡張を分析すること。
• 特異項を除去する形で計量を再表現し、新しい座標系において解析的であることを保証する方法を示すこと。

提案手法

• ホライズンに関する反射対称性に基づく計量の性質を用いる：g(i)_AB(−x¹,−x²,xᵃ) = g(i)_AB(x¹,x²,xᵃ) および g(i)_Aa(−x¹,−x²,xᵃ) = −g(i)_Aa(x¹,x²,xᵃ)。
• オズゴッドの補題を適用し、対称性と初期の解析的仮定から計量成分の解析的性質を導出する。
• 径方向座標 ρ² = (x¹)² + (x²)² を導入し、計量成分を ρ² と xᵃ の解析的関数として表現する。
• 特異項を除去する座標変換 u = t + ½ ln(y¹) を明示的に構成し、ローレンツ計量 (3.14) の特異項を除去する。
• θ_j dy^j = α(1+ρ²ψ)⁻² d(ρ²) + (1+ρ²ψ)⁻² γ_a dx^a により1形式θを定義し、ρ² と xᵃ に関して解析的であることを示す。
• 計量を g = −y¹(1+y¹ψ)² dt² + (dy¹)²/(4y¹) + h_jk dy^j dy^k の形で導出し、u を用いて座標変換することで特異性を除去する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超曲面直交性を仮定しない場合でも、静的真空計量が非退化キリングホライズンで解析的であることを示せるか？
• RQ2 接続1形式θは回転軸近辺およびホライズンでどのように振る舞うか？
• RQ3 計量成分がホライズン境界まで解析的となるような座標変換は何か？
• RQ4 計量における特異項 (dy¹)²/(4y¹) は、座標再定義によって除去可能であり、かつ解析的性質を保つことができるか？
• RQ5 計量がホライズンの片側近傍に解析的拡張をもつための条件は何か？

主な発見

• 計量成分 gab について、xB に関する奇数階微分は、(x¹,x²) → (−x¹,−x²) における対称性により、ホライズン {xA=0} で消える。
• 計量成分 g(i)_ab, g(i)_Ab, g(i)_AB は、ρ² と xᵃ の解析的関数であり、u = ρ(1 + ρ²ψ(ρ²,xᵃ)) および ρ² = (x¹)² + (x²)² を用いて表現される。
• 1形式 θ_j dy^j は ρ² と xᵃ に関して解析的であり、回転軸 {Y=0} に対しても滑らかに拡張可能で、計量の解析的性質と整合する。
• ローレンツ計量 (3.14) は u = t + ½ ln(y¹) を用いて書き直され、特異項 (dy¹)²/(4y¹) が除去され、新しい座標系で解析的表現が得られる。
• 計量 h_jk dy^j dy^k は ρ² と xᵃ に関して解析的であるが、(2ρ)⁻²(d(ρ²))² 項に特異性が存在する。この項は座標変換により分離され、取り扱われる。
• 座標 (u, y¹, xᵃ) における最終的な計量形は、キリングベクトル X が時間的または光的である領域の境界まで解析的であり、滑らかで解析的なアトラスの存在が確認される。