[論文レビュー] On approximate Birkhoff-James orthogonality and normal cones in a normed space

‎Debmalya Sain, Kallol Paul+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2017

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 4被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ノルム空間における近似Birkhoff-James直交性の2つの概念——DragomirおよびChmielińskiのε-直交性——を、正規錐の幾何的解析を用いて調査する。2次元の滑らかなバナッハ空間において、両方の近似直交性集合が正規錐とその負の集合の和集合であることを示し、その集合の完全な幾何的特徴付けと、このような集合に対する一意性定理を確立する。

ABSTRACT

We study two notions of approximate Birkhoff-James orthogonality in a normed space, from a geometric point of view, and characterize them in terms of normal cones. We further explore the interconnection between normal cones and approximate Birkhoff-James orthogonality to obtain a complete characterization of normal cones in a two-dimensional smooth Banach space. We also obtain a uniqueness theorem for approximate Birkhoff-James orthogonality set in a normed space.

研究の動機と目的

• ノルム空間における近似Birkhoff-James直交性の2つの異なる概念を、幾何的視点から調査すること。
• 特に2次元滑らかなバナッハ空間において、これらの近似直交性集合を正規錐の観点から特徴付けること。
• 近似直交性集合の構造を用いて、正規錐の完全な幾何的記述を確立すること。
• 一般のノルム空間において、近似Birkhoff-James直交性集合に対する一意性定理を証明すること。
• 正規錐と2種類の近似直交性との間の関係を明確にし、一般のノルム空間においてそれらが異なることを示すこと。

提案手法

• 2種類の近似Birkhoff-James直交性を導入する：$ x \.bot_D^\rho y $ は $ \|x + \lambda y\| \geq (1 - \epsilon)\|x\| $ を満たし、$ x \.bot_B^\rho y $ は $ \|x + \lambda y\|^2 \geq \|x\|^2 - 2\epsilon\|x\|\|\lambda y\| $ を満たす。
• それぞれの近似直交性条件を満たすすべての $ y $ の集合として、$ F(x, \epsilon) $ および $ G(x, \epsilon) $ を定義する。
• 正規錐 $ K $ を $ \mathbb{X} $ において、$ K + K \subset K $、$ \alpha K \subset K \ (\alpha \geq 0) $、および $ K \cap (-K) = \{\theta\} $ を満たすものとして定義する。
• 2次元滑らかなバナッハ空間において、$ F(x, \epsilon) = K_1 \cup (-K_1) $ および $ G(x, \epsilon) = K_2 \cup (-K_2) $ が成り立つことを示し、ここで $ K_1, K_2 $ は正規錐である。
• パス連結性を示す幾何的議論を用いて、$ \overline{B}(\alpha z, \epsilon) \cap S_\mathbb{X} $ が連結であることを証明し、その結果、$ G(x, \epsilon) \cap S_\mathbb{X} $ が正確に2つの連結成分を持つことを示す。
• $ G(x, \epsilon) $ の対称性と閉性を用いて、各成分が正規錐に対応することを示し、結局 $ G(x, \epsilon) = K \cup (-K) $ の分解が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノルム空間において、2つの異なる近似Birkhoff-James直交性の概念をどのように幾何的に特徴付けることができるか？
• RQ2 2次元滑らかなバナッハ空間において、正規錐と集合 $ F(x, \epsilon) $、$ G(x, \epsilon) $ の間の明確な関係は何か？
• RQ3 滑らかな2次元バナッハ空間において、$ G(x, \epsilon) $ の構造を正規錐とその負の集合の和集合として完全に記述できるか？
• RQ4 一般のノルム空間において、2種類の近似直交性が同一の集合を与えるか、それとも異なるか？
• RQ5 正規錐の観点から、近似直交性集合 $ G(x, \epsilon) $ に対して一意性の性質が成り立つか？

主な発見

• 2次元滑らかなバナッハ空間において、$ F(x, \epsilon) = K_1 \cup (-K_1) $ および $ G(x, \epsilon) = K_2 \cup (-K_2) $ が成り立ち、ここで $ K_1 $ および $ K_2 $ は正規錐である。
• 滑らかな点 $ x \in S_\mathbb{X} $ に対して、集合 $ G(x, \epsilon) \cap S_\mathbb{X} $ は正確に2つの連結成分から состояり、原点に関して対称である。
• $ G(x, \epsilon) \cap S_\mathbb{X} $ は、単位球面上の2つの弧の和集合であり、それぞれが2つの単位ベクトルによって生成される正規錐に対応する。
• 証明は、$ \overline{B}(\alpha z, \epsilon) \cap S_\mathbb{X} $ が $ \alpha \in [1 - \epsilon, 1 + \epsilon] $ に対してパス連結であることを示すことに依拠しており、これにより和集合の連結性が保証される。
• 正規錐による $ G(x, \epsilon) $ の特徴付けは、任意のノルム空間において成り立ち、$ G(x, \epsilon) = \bigcup_{y \in \mathbb{X}} Q_{x,y}(\epsilon) $ と表され、ここで各 $ Q_{x,y}(\epsilon) $ は2次元の正規錐である。
• 2種類の近似直交性は一般のノルム空間では一致しないことが示され、$ F(x, \epsilon) $ と $ G(x, \epsilon) $ の構成要素となる正規錐が異なる場合がある。