[論文レビュー] On approximate Gauss-Lucas theorems

Trevor Richards|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2017

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有理関数の臨界点が、有界な凸集合 $K\subset\mathbb{C}$ 内に少なくとも $k$ 個の零点を持つ場合に、その臨界点が $K$ の $\epsilon$-近傍内に存在する十分条件を確立する。複素解析とローチェの定理を用いて、$n$, $k$, $\epsilon$, $K$ の直径 $s$ を含む明示的な不等式を導出し、$\mathcal{RAGL}(n,k,\epsilon)$ の近似的なガウス＝ルーカス性を保証する。$K$ が円板の場合には、より鋭い境界が得られる。

ABSTRACT

The Gauss--Lucas theorem states that any convex set $K\subset\mathbb{C}$ which contains all $n$ zeros of a degree $n$ polynomial $p\in\mathbb{C}[z]$ must also contain all $n-1$ critical points of $p$. In this paper we explore the following question: for which choices of positive integers $n$ and $k$, and positive real number $ε$, will it follow that for every degree $n$ polynomial $p$ with at least $k$ zeros lying in $K$, $p$ will have at least $k-1$ critical points lying in the $ε$-neighborhood of $K$. We supply an inequality relating $n$, $k$, and $ε$ which, when satisfied, guarantees a positive answer to the above question.

研究の動機と目的

• 有界な凸集合 $K\subset\mathbb{C}$ に対して、$n$, $k$, $\epsilon$ がどの程度のときに近似的なガウス＝ルーカス性 $\mathcal{RAGL}(n,k,\epsilon)$ が成り立つかを特定すること。
• 古典的なガウス＝ルーカス定理を、$n$ 個の零点のうち $k$ 個のみが $K$ 内にある場合に拡張し、$k-1$ 個の臨界点が $K$ の $\epsilon$-近傍内に存在することを保証すること。
• $n$, $k$, $\epsilon$, $K$ の直径 $s$ の間の明示的な不等式を提示し、$\mathcal{RAGL}(n,k,\epsilon)$ を保証するものであり、特に円板の場合に改善された境界を得ること。
• 多項式から有理関数へと結果を一般化し、極を許容することで、臨界点の局所化の範囲を拡張すること。

提案手法

• 本稿は、特に補足原理と閉曲線積分を用いた複素解析的手法により、有理関数の臨界点の数とその零点・極の分布との関係を分析する。
• 関数 $f = g \cdot h$ に因数分解した有理関数の対数微分を比較するためにローチェの定理を適用し、$g$ は $K$ 内の零点・極を捉え、$h$ はそれ以外を表す。
• 集合 $K_\epsilon$ を囲む曲線 $\gamma$ 上での $\frac{g'}{g}$ の実部を推定することで、$K$ 近傍の臨界点数を制御する $\left|\frac{g'}{g}\right|$ の下界を導出する。
• 一般の凸集合に対しては、$\left|\frac{g'}{g}\right| \geq \frac{k}{(s+\epsilon)^2} \cdot \frac{16(s+\epsilon)^2}{\epsilon^2}$ が得られ、これにより十分条件 $\frac{16(s+\epsilon)^2}{\epsilon^2} < \frac{k}{(n-k)^2}$ が導かれる。
• 円板の場合には、$K$ 上での $\Re(1/-w)$ の最小値を用いたより鋭い推定が得られ、$\left|\frac{g'}{g}\right| \geq \frac{k}{\epsilon + s}$ が得られ、これにより $\frac{8(s+\epsilon)}{\epsilon} < \frac{k}{(n-k)^2}$ が導かれる。
• 証明は、$g$ のすべての臨界点が $K$ 内にあるという仮定に依拠しており、$h$ は零点・極が少ないため、$f = gh$ の臨界点に与える影響は限定的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な凸集合 $K$ 内に $k$ 個の零点を持つ有理関数が、$K$ の $\epsilon$-近傍内に少なくとも $k-1$ 個の臨界点を持つための $n$, $k$, $\epsilon$ の条件は何か？
• RQ2 $K$ の直径 $s$ が、臨界点の局所化に必要な $\epsilon$-近傍のサイズにどのように影響するか？
• RQ3 古典的なガウス＝ルーカス定理を、$K$ 内に $k$ 個の零点しか持たない有理関数へと拡張できるか？ これにより、大多数の臨界点が $K$ の近傍に留まることが保証されるか？
• RQ4 $\mathcal{RAGL}(n,k,\epsilon)$ が成り立つための $\epsilon$ の最適な境界は $n$, $k$, $s$ の関数としてどのように表され、円板の場合にはどのように異なるか？
• RQ5 すべての零点・極の比が $C$ より大きいような普遍定数 $C$ が存在するか？ そのとき、$gh$ の臨界点数 $\#_c(gh, K_\epsilon)$ が $\#_c(g,K)$ 以上になるか？

主な発見

• $\frac{16(s+\epsilon)^2}{\epsilon^2} < \frac{k}{(n-k)^2}$ が成り立てば、直径 $s$ の任意の有界凸集合 $K$ に対して $\mathcal{RAGL}(n,k,\epsilon)$ が保証される。
• 円板の場合、$\frac{8(s+\epsilon)}{\epsilon} < \frac{k}{(n-k)^2}$ が $\mathcal{RAGL}(n,k,\epsilon)$ を保証する。これは一般の場合よりも鋭い境界である。
• 系1.2では、$\epsilon$ の下界 $\epsilon > \frac{4s(n-k)}{\sqrt{k} - 4(n-k)}$ が得られ、$\sqrt{k} > 4(n-k)$ のとき有効であり、$\mathcal{RAGL}(n,k,\epsilon)$ を保証する。
• 系1.3では、関数 $\psi_1(n,k)$ に対する境界 $\psi_1(n,k) \leq \frac{8(n-k)^2}{k - 8(n-k)^2}$ が得られ、$K$ が円板の場合に $k > 8(n-k)^2$ のとき有効である。
• Marden や Biernacki の先行研究に比べ、特に $n-k$ を固定したまま $n \to \infty$ となる極限において、Marden の境界は定数のままであるのに対し、本稿の境界はゼロに近づくため、より優れた結果を得ている。
• 本稿は、$g$ の零点・極と $h$ のそれらの比が普遍定数 $C$ を超えるならば、$\#_c(gh, K_\epsilon) \geq \#_c(g,K)$ が成り立つと予想しており、これは、少数の零点・極の摂動に対しても臨界点の局所化が安定していることを示唆している。