[論文レビュー] On approximate n-ring homomorphisms and n-ring derivations

M‎. ‎Eshaghi Gordji|ArXiv.org|Dec 30, 2008

Functional Equations Stability Results参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、バナッハ代数およびモジュールにおけるn-環準同型およびn-環導来のハイヤーズ＝ウラム＝ラシアス安定性を確立する。近似されたn-環準同型および導来—εおよびδノルムまたはべき乗型の境界で有界—は、指数pおよびq（p, q ≠ 1）に関する条件下で、明示的な誤差推定を伴い、それぞれ正確なn-環準同型および導来によって近似可能であることが示される。

ABSTRACT

Let $A,B$ be two rings and let $ X$ be an $ A-$module. An additive map $h: A o B$ is called n-ring homomorphism if $h(Π^n_{i=1}a_i)=Π^n_{i=1}h(a_i),$ for all $a_1,a_2, ...,a_n \in {A}$. An additive map $D: A o X$ is called $n$-ring derivation if $$D(Π^n_{i=1}a_i)=D(a_1)a_2... a_n+a_1D(a_2)a_3... a_n+... +a_1a_2... a_{n-1}D(a_n),$$ for all $a_1,a_2, ...,a_n \in {\mathcal A}$. In this paper we investigate the Hyers-Ulam-Rassias stability of $n$-ring homomorphisms and n-ring derivations.

研究の動機と目的

• 近似条件下におけるn-環準同型およびn-環導来の安定性を調査すること。
• ハイヤーズ＝ウラム＝ラシアス安定性フレームワークを、非結合的および非単位的状況におけるn-数の環作用へ拡張すること。
• 近似されたn-環準同型および導来が正確な解に近いかどうかの条件を確立すること。
• 近似n-環写像を正確なものに近似する際の定量的誤差推定を提供すること。
• 指数p = 1のとき安定性が成立しないことを、反例を用いて示すこと。

提案手法

• すべてのaᵢ ∈ Aに対してh(∏₁ⁿ aᵢ) = ∏₁ⁿ h(aᵢ)を満たす条件によりn-環準同型を定義する。
• 一般化されたライプニッツ則：D(∏₁ⁿ aᵢ) = Σᵢ₌₁ⁿ (a₁⋯aᵢ₋₁ D(aᵢ) aᵢ₊₁⋯aₙ)によりn-環導来を定義する。
• 近似されたものから正確な加法的写像を導出するため、極限構成h(a) = limₘ→∞ (1/2ᵐ)f(2ᵐa)を用いる。
• コーシー差とn-数積の差をバインドすることで、ハイヤーズ＝ウラム＝ラシアス安定性技法を適用する。
• べき乗型の境界を用いる：||f(a+b)−f(a)−f(b)|| ≤ ε(||a||ᵖ + ||b||ᵖ)および||f(∏aᵢ)−Leibniz表現|| ≤ ε∏||aᵢ||ᶜ。
• 極限過程の収束を証明し、極限写像が正確なn-環準同型／導来恒等式を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近似n-環準同型が正確なn-環準同型に近いかどうかの条件は何か？
• RQ2 ハイヤーズ＝ウラム＝ラシアス安定性フレームワークは、標準的な2-数の場合を超えてn-数の環作用へ拡張可能か？
• RQ3 近似n-環準同型とその正確な近似との間の定量的誤差境界は何か？
• RQ4 安定性結果は誤差境界における指数pにどのように依存し、なぜp = 1のとき失敗するのか？
• RQ5 べき乗型の誤差制御下で、与えられた近似n-環導来を近似する一意なn-環導来は存在するか？

主な発見

• ||f(a+b)−f(a)−f(b)|| ≤ εおよび||f(∏aᵢ)−∏f(aᵢ)|| ≤ δを満たす近似n-環準同型fに対して、すべてのa ∈ Aに対して||f(a)−h(a)|| ≤ εを満たす一意なn-環準同型hが存在する。
• 関数的不等式の反復的適用により、極限写像h(a) = limₘ→∞ (1/2ᵐ)f(2ᵐa)が正確なn-環準同型であることが示される。
• べき乗型の境界の場合は、||f(a+b)−f(a)−f(b)|| ≤ ε(||a||ᵖ + ||b||ᵖ)および||f(∏aᵢ)−Leibniz表現|| ≤ ε∏||aᵢ||ᶜが成り立つならば、||f(a)−D(a)|| ≤ (2ε)/(2−2ᵖ)||a||ᵖを満たす一意なn-環導来Dが存在する。
• p = 1のとき、fと任意の正確なn-環準同型または導来との間に一様な境界が存在しない反例により、安定性結果が失敗することが示される。
• 極限過程により、導出写像Dが正確なn-数ライプニッツ則：D(∏aᵢ) = Σᵢ₌₁ⁿ (a₁⋯aᵢ₋₁ D(aᵢ) aᵢ₊₁⋯aₙ)を満たすことが保証される。
• 加法性および極限構成により、近似写像の一意性が導かれる。これにより、同じ境界を満たす他の解は存在しないことが保証される。