[論文レビュー] On Approximating Restricted Cycle Covers

Bodo Manthey|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2005

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 37被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、サイクル長が集合Lに制限される有向および無向グラフにおける最大重みLサイクル被覆の計算の複雑さと近似可能性を調査する。ほとんどすべてのLに対して、問題はAPX-hardであるが、無向グラフでは2-近似、有向グラフでは8/3-近似が可能であり、困難さにもかかわらず強力な近似保証が得られることを示している。

ABSTRACT

A cycle cover of a graph is a set of cycles such that every vertex is part of exactly one cycle. An L-cycle cover is a cycle cover in which the length of every cycle is in the set L. The weight of a cycle cover of an edge-weighted graph is the sum of the weights of its edges. We come close to settling the complexity and approximability of computing L-cycle covers. On the one hand, we show that for almost all L, computing L-cycle covers of maximum weight in directed and undirected graphs is APX-hard and NP-hard. Most of our hardness results hold even if the edge weights are restricted to zero and one. On the other hand, we show that the problem of computing L-cycle covers of maximum weight can be approximated within a factor of 2 for undirected graphs and within a factor of 8/3 in the case of directed graphs. This holds for arbitrary sets L.

研究の動機と目的

• 有向および無向グラフにおける最大重みLサイクル被覆を計算する問題の複雑さと近似可能性を同定すること。
• どの集合Lに対して問題が依然として tractable か、あるいはintractable になるかを特定すること。
• Lサイクル被覆問題に対して、定数性能保証を有する多項式時間近似アルゴリズムを開発すること。
• 制限付きサイクル被覆問題におけるNP-hardさと近似可能性のギャップを埋めること。
• 無向グラフにおいて未解決のまま残っている多項式時間解法が得られないケースを特定すること。

提案手法

• 著者たちは、除外されるサイクル長、特に2、3、4のような小サイクルに注目して、Lサイクル被覆の構造を分類することで分析を行う。
• 動的計画法を用いて、n個の頂点をLに属する長さのサイクルで被覆できる最大のサイクル数D(n,L)を計算し、最適解のサイズを上界づける。
• 近似の観点から、初期のサイクル被覆をマッチングに分解し、再結合することで有効なLサイクル被覆を構成しつつ、最適解の重みの定数倍以上を保持する。
• 2および3がLに含まれる場合、偶数サイクルおよび奇数サイクルから交互に辺を選択することで{2,3}-サイクル被覆を構築し、少なくとも半分の重みを保持する。
• 特に除外集合が小さいLに対して、既知のマッチングアルゴリズムおよび増幅路定理を応用して構造的洞察を得る。
• 有向グラフの近似アルゴリズムは二段階のアプローチを採用する：まず一般のサイクル被覆を計算し、次にエッジの選択と反転によってLサイクル被覆に変換することで重みを保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無向グラフにおける最大重みLサイクル被覆の計算が、どの集合Lに対してNP-hardまたはAPX-hardになるか。
• RQ2 有向グラフにおけるすべてのLサイクル被覆問題に対して、定数倍近似が達成可能か。
• RQ3 Lが特定の小サイクル長を除外する場合、無向Lサイクル被覆の最良の近似比は何か。
• RQ4 多項式時間解法が得られるLサイクル被覆のケースを特定するための構造的性質や増幅路定理は存在するか。
• RQ5 小サイズの除外集合を持つLサイクル被覆問題が、既知の定理にもかかわらず未解決のまま残っているのはなぜか。

主な発見

• ほとんどすべてのLに対して、有向および無向グラフにおける最大重みLサイクル被覆の計算はAPX-hardである。これはエッジ重みが0と1に制限されても同様に成り立つ。
• 任意の空でないL ⊆ {3,4,5,…}に対して、無向グラフにおける最大重みLサイクル被覆問題に対して2-近似アルゴリズムが存在する。
• 任意の空でないL ⊆ {2,3,4,…}に対して、有向グラフにおける最大重みLサイクル被覆問題に対して8/3-近似アルゴリズムが提供されている。
• 有向グラフにおける唯一の多項式時間解法が可能なケースは、L = {2} または L = {2,3,4,…} のときであり、それ以外はすべてNP-hardかつAPX-hardである。
• 無向グラフでは、5つのケースが未解決のまま残っている：Lの補集合が{4}または{3,4}であるLサイクル被覆問題、および4サイクル被覆問題。
• 本稿は、Lがすべてのサイクル長を含む、またはそれぞれ3または4のみを除外する場合に限り、最大重みLサイクル被覆問題がPO（多項式時間で解ける）であることを確立している。