[論文レビュー] On Approximation, Bounding & Exact Calculation of Block Error Probability for Random Code Ensembles

Ralf R. Müller|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2020

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ひとこと要約

本稿では、AWGN、BSC、BECを含むさまざまなチャネルにおけるランダムコード集合の平均ブロック誤り確率を正確に計算するための新規な二次元射影法を提示する。三角関数を用いた高次元幾何の簡略化により、球面的、ガウス型、バイナリ型ランダムコードの正確な計算が可能となり、特に短いブロック長および高レートの場合にきめの細かい境界と効率的な近似が得られる。

ABSTRACT

This paper presents a method to calculate the exact average block error probability of some random code ensembles under maximum-likelihood decoding. The proposed method is applicable to various channels and ensembles. The focus is on both spherical and Gaussian random codes on the additive white Gaussian noise channel as well as binary random codes on both the binary symmetric channel and the binary erasure channel. While for the uniform spherical ensemble Shannon, in 1959, argued with solid angles in $N$-dimensional space, the presented approach projects the problem into two dimensions and applies standard trigonometry. This simplifies the derivation and also allows for the analysis of the independent identically distributed (i.i.d.) Gaussian ensemble which turns out to perform better for short blocklengths and high rates. Moreover, a new lower bound on the average block error probability of the uniform spherical ensemble is found. For codes with more than three codewords, it is tighter than the sphere packing bound, but requires exactly the same computing effort. Furthermore, tight approximations are proposed to simplify the computation of both the exact average error probability and the two bounds. For the binary symmetric channel and the binary erasure channel, bounds on the average block error probability for i.i.d. random coding are derived and compared to the exact calculations.

研究の動機と目的

• 多様なランダムコード集合およびチャネルにおいて、平均ブロック誤り確率を正確に計算する手法を開発すること。
• ランダム符号理論における高次元誤り確率の計算的・解析的課題に対処すること。
• 球面パッキング境界を改善するよりきつい下界を導出することにより、均一な球面コードに対するよりきつい下界を導出すること。
• 正確性を損なわずに計算を簡略化する効率的な近似を提供すること。
• i.i.d. ガウス型およびバイナリ型ランダムコードがBSCおよびBECにおいて正確な結果と境界を比較すること。

提案手法

• 高次元誤り確率問題を幾何的三角関数を用いて二次元に射影し、N次元の球面的およびガウス型コード解析を簡略化する。
• 標準的な三角関数恒等式を用いて、射影平面内におけるコードワード間の対ごとの誤り確率を計算する。
• 球面的、ガウス型、バイナリ型ランダムコードにおける最大尤度復元の下で、平均ブロック誤り確率の正確な式を導出する。
• 球面パッキング境界を上回る、均一な球面コードの平均誤り確率に対するよりきつい下界を新たに導出する。
• 正確な誤り確率および境界評価の計算複雑度を低減するため、きつい解析的近似を提案する。
• BSCおよびBECにおけるi.i.d. ガウス型およびバイナリ型ランダムコードの境界を導出し、正確な計算結果と照合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような簡略化された幾何的アプローチを用いれば、さまざまなチャネルにおけるランダムコード集合の平均ブロック誤り確率を正確に計算できるか？
• RQ2 短いブロック長および高レートの場合に、i.i.d. ガウス型コードは均一な球面コードに比べてどの程度誤り確率の面で優れているか？
• RQ3 球面パッキング境界を上回る、均一な球面コードの平均誤り確率に対するよりきつい下界を導出可能か？
• RQ4 提案された近似は、異なるコード集合およびチャネルにおいて正確な誤り確率をどの程度正確に推定できるか？
• RQ5 バイナリ対称チャネルおよびバイナリ消失チャネルにおけるi.i.d. ランダム符号の解析的境界は何か？ また、正確な結果と比較してどうなるか？

主な発見

• 提案された二次元射影法により、さまざまなチャネルにおける球面的、ガウス型、バイナリ型ランダムコードの平均ブロック誤り確率を正確に計算可能である。
• 短いブロック長および高レートの場合に、i.i.d. ガウス型コード集合が均一な球面コード集合を上回ることを、正確な誤り確率計算により確認した。
• 均一な球面コードの平均誤り確率に対するよりきつい下界が新たに導出され、球面パッキング境界を上回るが、計算コストは同一である。
• この新しい下界は3個以上のコードワードを持つ符号に対して有効であり、複雑性を増すことなく、タイトさの向上が著しい。
• 正確な誤り確率および導出された境界を高精度に推定できるきつい近似が提案され、計算負荷が著しく低減された。
• BSCおよびBECにおいて、i.i.d. ランダム符号の平均誤り確率に対する解析的境界が導出され、正確な値とよく一致することが示され、実用的応用に適していることが検証された。