[論文レビュー] On approximation of p-adic numbers by p-adic algebraic numbers

Victor Beresnevich, Vasili Bernik+1 more|ArXiv.org|Feb 13, 2008

advanced mathematical theories参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ディオファントス近似におけるキンチン型定理の完全なp進版を確立し、単調関数Ψに対して、代数的数の次数nによる近似誤差がH(α)⁻ⁿΨ(H(α))で抑えられるp進数の集合が、∑Ψ(h)が収束する場合にはハアール測度0、発散する場合には全測度をもつことを証明する。この結果は、p進解析と測度論的技法を用いて、古典的な測度的ディオファントス近似をp進設定に拡張するものである。

ABSTRACT

A complete p-adic Khintchine type theorem for approximation by p-adic algebraic numbers is established.

研究の動機と目的

• 代数的数によるディオファントス近似におけるキンチンの定理の完全なp進類似を確立すること。
• 次数nの代数的数による近似誤差がH(α)⁻ⁿΨ(H(α))で抑えられるp進数の集合のハアール測度を特定すること。
• 元々ℝ上に成立する古典的な測度的ディオファントス近似の結果を、p進体ℚₚに拡張すること。
• 近似集合の測度が、ちょうど∑Ψ(h)の収束または発散に依存することを証明すること。
• 実数のディオファントス近似から得られる主要な道具（正則系やボレル＝カンテリ型の議論）のp進類似を構築すること。

提案手法

• ℚₚ上のp進付値とハアール測度を用いて、近似集合の距離構造を定義する。
• 近似不等式で定義される集合の測度を解析するために、p進設定におけるボレル＝カンテリの補題を適用する。
• 多項式の根の近傍における多項式およびその微分の挙動を制御するため、補助的集合E₁(δ, Q, K, ξ)とE₂(ξ, C, K₀)を導入する。
• ヘンゼルの補題を用いて、近似根を真のp進根に持ち上げ、近似元と代数的数との間の距離を推定する。
• ディリクレの原理をp進設定に応用し、特定の係数および値の上限を満たす多項式を構成する。
• 有理数体ℚₚにおける区間の正則系を構築し、有界な高さと分離度をもつ代数的数の個数を数えることで、発散の場合の証明に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数nの代数的数による近似におけるキンチンの定理のp進類似は何か？
• RQ2 ∑Ψ(h)の収束または発散が、次数nの代数的数による近似誤差H(α)⁻ⁿΨ(H(α))で抑えられるp進数の集合のハアール測度にどのように影響するか？
• RQ3 古典的な測度的ディオファントス近似理論を、同じ収束/発散の二分法を保ちつつp進設定に拡張できるか？
• RQ4 多項式の微分がp進位相における近似の密度を制御する上で果たす役割は何か？
• RQ5 発散の場合の全測度の結果を証明するために、ℚₚにおける正則系をどのように構築できるか？

主な発見

• 単調減少関数Ψ: ℝ₊ → ℝ₊に対して、|P(ω)|ₚ < H(P)⁻ⁿΨ(H(P))を満たすP ∈ ℤ[x]でdeg P ≤ nを満たすものが無限に多く存在するω ∈ ℚₚの集合Mₙ(Ψ)は、∑Ψ(h)が収束する場合にはハアール測度0である。
• ∑Ψ(h)が発散する場合、Mₙ(Ψ)はℚₚにおいて全ハアール測度をもつ。
• |ω − α|ₚ < H(α)⁻ⁿΨ(H(α))を満たすα ∈ 𝔸ₚ,ₙが無限に多く存在するω ∈ ℚₚの集合𝔸ₚ,ₙ(Ψ)は、∑Ψ(h)が収束する場合にはハアール測度0、発散する場合には全測度をもつ。
• 定理1の収束部分は、多項式の値と微分条件で定義される集合の測度に関する評価を用いたp進版ボレル＝カンテリの補題によって確立される。
• 発散部分は、定理2から導かれる。すなわち、良い近似点の集合が正の測度の正則系を含むことから、発散の下で全測度をもつことが示される。
• 重要な技術的結果として、十分大きなQに対してμ(E(δ, Q, K)) ≤ cδμ(K)が成り立つ。ここでE(δ, Q, K)は、H(P) ≤ Qを満たすPに対して|P(ω)|ₚ < δQ⁻ⁿ⁻¹を満たすp進円板の和集合である。この不等式により、ボレル＝カンテリの議論における測度の制御が可能になる。