[論文レビュー] On approximation of topological groups by finite algebraic systems

Lev Glebsky, E. I. Gordon|ArXiv.org|Jan 11, 2002

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、局所コンパクトな位相群を、有限代数系、特に有限半群、準群、左/右準群によって近似する問題を調査する。非標準解析を用いて、任意の局所コンパクト群が有限左または右準群によって近似可能であることを証明し、有限準群による近似可能性はユニモジュラリティを意味するが、その逆は未解決のままである。離散群が有限準群によって近似可能であることが示され、有限半群による近似は有限群による近似と同値である。

ABSTRACT

It is known that locally compact groups approximable by finite ones are unimodular, but this condition is not sufficient, for example, the simple Lie groups are not approximable by finite ones as topological groups. In this paper the approximations of locally compact groups by more general finite algebraic systems are investigated. It is proved that the approximation of locally compact groups by finite semigroups is equivalent to approximation by finite groups and thus not all locally compact groups are approximable by finite semigroups. We prove that any locally compact group is approximable by finite left (right) quasigroups but the approximabilty of a locally compact group by finite quasigroups (latin squares) implies its unimodularity. The question if the unimodularity of a locally compact group implies its approximability by finite quasigroups is open. We prove only that the discrete groups are approximable by finite quasigroups.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト位相群が、有限群よりも一般な有限代数系によって近似可能かどうかを調査すること。
• このような近似が存在する条件を特定すること、特に半群、準群、左/右準群に焦点を当てる。
• ユニモジュラリティと有限準群による近似可能性の関係を明確にすること。これは必要条件ではあるが、十分条件であるかどうかはまだ証明されていない。
• 非標準解析の技法を用いて、有限群を超えた群の近似理論を拡張すること。

提案手法

• 非標準解析を用いて、内部的超有限代数を介して局所コンパクト群の超有限近似を構成する。
• コンパクト集合 C と有限開被覆 U を用いて (C, U)-近似を定義し、有限代数による近似を形式化する。
• 移行原理を適用して、超有限半群内の内部的イデアルの鎖を構成し、その商を分析する。
• Rees 半群構成を用いて 0-単純な有限半群を特徴付け、それらを最大部分群を通じて群と関連付ける。
• C₀(A) 上の関数的不等式を適用し、線形汎関数の不変性を導出し、Haar 測度の不変性と結びつける。
• ほぼ準同型および内部的近似の概念を用いて、ある条件下で超有限部分半群が超有限群を生成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の局所コンパクト群は、有限左または右準群によって近似可能か？
• RQ2 局所コンパクト群のユニモジュラリティは、その有限準群による近似可能性を意味するか？
• RQ3 有限半群による近似は、有限群による近似と同値か？
• RQ4 近似不能な離散群は、その代数的構造によって特徴付けられるか？
• RQ5 非標準解析は、近似定理の証明を簡略化する役割を果たすか？

主な発見

• 任意の局所コンパクト群は、有限左および右準群によって近似可能である。
• 有限準群による近似可能性はユニモジュラリティを意味する。近似条件から C₀(A) 上の左/右不変汎関数の存在が導かれるからである。
• 有限半群による近似は、有限群による近似と同値であり、したがってこのような群もユニモジュラリティを満たす必要がある。
• すべての離散群は有限準群によって近似可能であり、局所的再帰的有限群のクラスを超えて近似可能な群のクラスが拡張される。
• 群の近似において、超有限半群の超有限商が、部分半群が 0-単純かつ非ゼロであれば、Rees 半群構造を通じて超有限群となる。
• 未解決の問題として、ユニモジュラリティが局所コンパクト群が有限準群によって近似可能であるための十分条件かどうかは、まだ不明のままである。