[論文レビュー] On arbitrarily slow convergence rates for strong numerical approximations of Cox-Ingersoll-Ross processes and squared Bessel processes

Mario Hefter, Arnulf Jentzen|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、駆動される Browmian 動機の等間隔離散化を用いた Cox-Ingersoll-Ross (CIR) プロセスおよび平方 Bessel プロセスの強い数値近似が、任意に遅い収束速度を示すことを確立している。主な結果は、収束速度が $ N^{-2a/\rho^2} $ で有界であることを示しており、ここで $ 0 < 2a < \rho^2 $ である。これは、金融分野における標準的手法が、任意に遅い収束速度を示す可能性があることを示しており、効率的な計算のためには、非等間隔のスキームの開発が不可欠であることを示している。

ABSTRACT

Cox-Ingersoll-Ross (CIR) processes are extensively used in state-of-the-art models for the approximative pricing of financial derivatives. In particular, CIR processes are day after day employed to model instantaneous variances (squared volatilities) of foreign exchange rates and stock prices in Heston-type models and they are also intensively used to model short-rate interest rates. The prices of the financial derivatives in the above mentioned models are very often approximately computed by means of explicit or implicit Euler- or Milstein-type discretization methods based on equidistant evaluations of the driving noise processes. In this article we study the strong convergence speeds of all such discretization methods. More specifically, the main result of this article reveals that each such discretization method achieves at most a strong convergence order of $δ/2$, where $0

研究の動機と目的

• 金融モデリングに用いられる CIR プロセスのための標準的数値スキームの強収束挙動を調査すること。
• CIR プロセスおよび平方 Bessel プロセスに対して、等間隔離散化法が実際の応用で妥当な収束速度を達成できるかどうかを特定すること。
• このようなスキームが、すべてのモーメントが有界であっても、任意に遅い収束速度を示す可能性があることを示すこと。
• 非リプシッツ型 SDE における数値的手法の根本的限界を、金融分野への応用を踏まえて特定すること。
• 駆動される Browmian 動機の等間隔サンプリングを避ける、より洗練された近似スキームの開発を促すこと。

提案手法

• 著者らは、注意深く設計された停止時刻を用いた時間変換付き Browmian 動機フレームワークを用いて、CIR プロセスおよび平方 Bessel プロセスの族を構築した。
• 等間隔の Browmian 動機評価に基づく任意の離散化と真のプロセスとの間の強 $ L^1 $-距離の下界を導出した。
• 解析は、平方 Bessel プロセスの比較原理、モーメントの有界性、スケーリング特性を活用し、CIR プロセスと次元 $ \rho $ の平方 Bessel プロセスとの関係を確立した。
• 重要な技術的ステップとして、到達時間確率を制御できるように、特定の条件付き分布を持つ確率的時刻と Browmian 動機を構築した。
• 証明は、元の CIR プロセスを [0,1] 上の正規化された平方 Bessel プロセスに変換する変換に依存しており、これにより既知の下界結果の適用が可能になった。
• 最終的な結果は、変換されたプロセスと正規化された設定における $ L^1 $-距離の既知の下界を組み合わせることで得られ、収束速度に対する普遍的な下界が得られた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CIR プロセスのための標準的強数値スキームが、Browmian 動機の等間隔評価を用いる場合、収束速度が $ N^{-2a/\rho^2} $ より速くなることは可能か？
• RQ2 すべてのモーメントが有界であっても、このようなスキームの強収束速度が、任意に遅くなることはあり得るか？
• RQ3 CIR プロセスに対して、駆動される Browmian 動機の等間隔サンプリングに依存するすべての離散化法の収束速度の根本的限界は何か？
• RQ4 関連する平方 Bessel プロセスの次元パラメータ $ \delta $ は、強近似の収束速度にどのように影響するか？
• RQ5 CIR プロセスの構造自体に、標準的等間隔スキームによる効率的強近似を妨げる本質的障壁があるか？

主な発見

• CIR プロセスに対して、Browmian 動機の等間隔評価を用いた任意の数値スキームの強収束速度は、$ N^{-2a/\rho^2} $ 以下である。ここで $ 2a < \rho^2 $ である。
• パrameters $ T, a, \sigma, b, x $ を持つ CIR プロセスに対して、期待される $ L^1 $-誤差は、$ c \cdot N^{-2a/\rho^2} $ で下から抑えられる。ここで $ c > 0 $ はスキームに依存しない定数である。
• 収束速度は $ 2a \to 0 $ のとき、任意に遅くなる可能性がある。これは、解のすべてのモーメントが有界であっても同様である。
• この結果は、明示的・陰的 Euler 法およびミルシュタイン型スキームを含む、駆動される Browmian 動機の等間隔評価のみを用いるすべてのスキームに適用可能である。
• 下界は鋭く、次元 $ \delta = 4a/\rho^2 \in (0,2) $ の正規化された平方 Bessel プロセスへの変換により導出された。
• これは、Heston モデルや短利回りモデルにおけるデリバティブ価格設定の業界標準的手法が、実際には許容できないほど遅い収束速度を示す可能性があることを示唆している。