[論文レビュー] On arithmetic general theorems for polarized varieties

Nathan Grieve|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、シュミットの部分空間定理とフィルトレーション技法を用いて、数体および関数体上の極小化多様体に対して算術的一般定理を確立する。ル＝ヴォイタおよびマッキンノン＝ロスの結果を拡張し、例外的除集合に対するロスの定理の形を証明するとともに、ラインバンドルの体積に基づく不変量を用いて、ファノ多様体上でのヴォイタの主要不等式が成り立つ十分条件を提示する。

ABSTRACT

We apply Schmidt's Subspace Theorem to establish Arithmetic General Theorems for projective varieties over number and function fields. Our first result extends an analogous result of M. Ru and P. Vojta. One aspect to its proof makes use of a filtration construction which appears in work of Autissier. Further, we consider work of M. Ru and J. T.-Y. Wang, which pertains to an extension of K. F. Roth's theorem for projective varieties in the sense of D. McKinnon and M. Roth. Motivated by these works, we establish our second Arithmetic General Theorem, namely a form of Roth's theorem for exceptional divisors. Finally, we observe that our results give, within the context of Fano varieties, a sufficient condition for validity of the main inequalities predicted by Vojta.

研究の動機と目的

• シュミットの部分空間定理を用いて、数体および関数体上の極小化多様体に対する算術的一般定理を拡張する。
• アーティーサーおよびコルヴァージャ＝ツァニエの構成にインspiredされたフィルトレーションを用いて、例外的除集合に対するロス型定理を確立することで、ル＝ヴォイタおよびマッキンノン＝ロスの結果を一般化する。
• 漸近的体積定数を用いて、ファノ多様体上でのヴォイタの主要予想の成立に十分な条件を提供する。
• ウェイル関数および離散測度を用いて、ディオファントス幾何学、幾何学的不変量論、オクウンコフ体の理論を統合する。

提案手法

• 数体および関数体上の射影的多様体におけるフィルタリングされた線形系列にシュミットの部分空間定理を適用する。
• アーティーサーおよびコルヴァージャ＝ツァニエのインスピレーションを受けて、有理点における零点の位数を制御するためのフィルトレーション構成を用いる。
• 離散測度の期待値を用いて漸近的体積定数を表現し、概念的明確性を向上させる。
• ラインバンドル $L$ に除集合 $D_i$ をねじ込んだ場合のセクションの漸近的成長を測る体積不変量 $\beta(L, D_i)$ を導入し、古典的体積論を一般化する。
• 基底集合の調整と線形同値性を用いて、ヴォイタの不等式の証明を、反 canonical バンドルのケースに還元する。
• 部分多様体に沿った吹き上げを用いて例外的除集合を分析し、対数正則閾値の文脈で主定理を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体および関数体上の極小化多様体に対して、ル＝ヴォイタの古典的結果を拡張する算術的一般定理が成り立つ条件は何か？
• RQ2 ファノ多様体における部分多様体の吹き上げから生じる例外的除集合に対して、ロスの定理の形を確立できるか？
• RQ3 体積不変量 $\beta(-\pi^*K_X, E_i)$ は、ヴォイタの主要不等式の成立にどのように寄与するか？
• RQ4 ウェイル関数とセーシャドリ定数は、部分多様体およびその例外的除集合の文脈でどのように相互作用するか？
• RQ5 ラインバンドルの漸近的体積は、適切な部分多様体の外側における有理点の分布をどの程度制御できるか？

主な発見

• 本稿は、ル＝ヴォイタの結果を関数体へ拡張し、離散測度の期待値による概念的改善を加えた一般算術定理（定理 4.1）を確立する。
• 例外的除集合に対するロスの定理の形が証明される（系 1.2）：$\beta(-\pi^*K_X, E_i) \geq 1$ ならば、適切な部分多様体の外で、近接関数 $m_S(x,E)$ が $\epsilon h_{-\pi^*K_X}(x)$ で有界であることが示される。
• ファノ多様体で $-K_X$ が $\mathbb{Q}$-アーマンである場合、すべての $i$ に対して $\beta(-\pi^*K_X, E_i) \geq 1$ ならば、ヴォイタの主要不等式が成り立つ。定数は $\epsilon$ に依存する。
• 線形同値性を用いて一般ケースを反 canonical バンドルのケースに還元し、$M = -K_X$ に対して不等式が成り立つならば、すべての大きな $M$ に対して定数を調整することで不等式が成り立つことを示す。
• この手法により有効な境界が得られる：任意の $\epsilon > 0$ に対して、$a_\epsilon, b_\epsilon > 0$ が存在し、適切な部分多様体の外で、$h_{-K_X}(x) \leq a_\epsilon$ または $\sum_{v\in S}\lambda_{Y,v}(x) + h_{K_X}(x) \leq \epsilon h_M(x) + b_\epsilon$ が成り立つ。
• 結果として、ファノ設定下でヴォイタの予想的不等式が成り立つための体積論的条件 $\beta(-\pi^*K_X, E_i) \geq 1$ が十分であることが確認された。