[論文レビュー] On arithmetic Zariski pairs in degree 6

Ichiro Shimada|ArXiv.org|Nov 20, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、偶数次元平面曲線のための新しい位相的不変量 $N_C$ を導入し、$\mathbb{P}^2$ 内の曲線の補集合における微細なホメオモルフィズムの違いを検出する。最大性を示すセキシティック（全ミルナー数 19 の6次曲線）にこの不変量を適用することで、基本群のプロファイント完備化が同型であるにもかかわらず、位相的に異なる共役曲線対としての新しい算術的ザリスキ対を4つ構成する。

ABSTRACT

We define a topological invariant of complex projective plane curves. As an application, we present new examples of arithmetic Zariski pairs.

研究の動機と目的

• 複素射影平面曲線（偶数次元）のための新しい位相的不変量 $N_C$ を定義し、基本群を越えたホメオモルフィズム型を捉えること。
• 基本群のプロファイント完備化が同型であるにもかかわらず、ホメオモルフィズムでない共役平面曲線を区別するという課題に取り組むこと。
• 幾何的・算術的不変量を用いて、ホメオモルフィズムでない共役曲線対（算術的ザリスキ対）の明示的例を構成すること。
• 全ミルナー数 19 の $ADE$-セキシティックのモジュライ空間の連結成分の分類を拡張すること。
• セキシティックの幾何と、それに関連する $K3$ 表面の算術的性質を、その超越的格子を通じて結びつけること。

提案手法

• $N_C$ を $(\mathbb{P}^2, C)$ の $\Gamma$-同値類の不変量として定義し、ペアのホメオモルフィズム型を強化すること。
• 最大性を示すセキシティック（ミルナー数 19）に対して、$N_C$ が関連する $K3$ 表面 $X_C$ の超越的格子と一致することを示すこと。
• ランク 19 の $R$ に対するモジュライ空間 $\mathcal{M}(R)$ の連結成分の分類について、Degtyarev の結果を用いて $\mathcal{M}(R)$ の構造を分析すること。
• 虚二次体のヒルベルト類体理論の結果を応用し、算術的ザリスキ対の第4の例を構成すること。
• 共役曲線が数体上での同型な $K3$ 表面を誘導することを活用し、$N_C$ と $N_{C'}$ の関係をガロア降下を用いて結びつけること。
• 超越的格子 $T(X_C) \not\cong T(X_{C'})$ の非同型性を用いて、$C$ と $C'$ が共役であるにもかかわらずホメオモルフィズムでないことを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基本群が不十分な場合、位相的不変量 $N_C$ は $\mathbb{P}^2$ 内の平面曲線のホメオモルフィズム非同型性を検出できるか？
• RQ2 全ミルナー数 19 の最大性セキシティック（6次曲線）において、特定のディンキン型を持つ算術的ザリスキ対は存在するか？
• RQ3 関連する $K3$ 表面の超越的格子は、共役曲線を区別する不変量として機能するか？
• RQ4 ランク 19 の $R$ に対して、モジュライ空間 $\mathcal{M}(R)$ はいくつの連結成分を持ち、それらは算術的不変量とどのように関係するか？
• RQ5 ヒルベルト類体理論は、6次における算術的ザリスキ対の新しい例を構成するために用いられるか？

主な発見

• $N_C$ は $(\mathbb{P}^2, C)$ の $\Gamma$-同値類の不変量であり、$C$ が最大性セキシティックであるとき、関連する $K3$ 表面 $X_C$ の超越的格子と一致する。
• $A_{16}+A_2+A_1$、$A_{16}+A_3$、$A_{18}+A_1$ のディンキン型に対して、モジュライ空間 $\mathcal{M}(R)$ は $N_C$ によって区別される少なくとも2つの連結成分を持ち、それらから算術的ザリスキ対が得られる。
• $A_{10}+A_9$ のディンキン型に対して、ヒルベルト類体理論を用いて算術的ザリスキ対が構成され、$N_C \cong \Lambda[2,1,28]$ および $N_{C'} \cong \Lambda[8,3,8]$ である。
• 超越的格子 $T(X_C) \not\cong T(X_{C'})$ の非同型性は、$C$ と $C'$ が共役であるにもかかわらずホメオモルフィズムでないことを示唆する。
• $\mathcal{M}(A_{10}+A_9)$ の連結成分の数は4つであり、対 $(C,C')$ はモジュライ空間内の異なるガロア軌道から生じる。
• この構成により、$N_C$ が、標準的不変量（例えば基本群）がプロファイント完備化で同型であるために失敗する場合でも、6次における共役曲線を区別する強力な不変量であることが確認される。