[論文レビュー] On associated variety for Lie superalgebras

Michel Duflo, Vera Serganova|ArXiv.org|Jul 11, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 56

ひとこと要約

本稿は、有限次元リースーパー代数 $\mathfrak{g}$ 上の加群 $M$ の関連多様体 $X_M$ を導入する。$X_M$ は、$M_x = \ker x / xM \neq 0$ を満たす自己可換な奇数次元要素 $x \in \mathfrak{g}_1$ の集合として定義される。$k$ の典型性度を持つ既約有限次元加群に対して、$X_M$ は、自己可換な奇数次元要素の錐 $X$ 内のすべての $G_0$-軌道のうちランク $k$ のものの閉包に含まれることを証明する。さらに $\mathfrak{gl}(m|n)$ に対しては、$X_M$ がこの閉包と一致することを示し、表現論的性質の幾何的特徴付けを提供する。

ABSTRACT

We define the associated variety $ X_{M} $ of a module $ M $ over a finite-dimensional superalgebra $ {\mathfrak g} $, and show how to extract information about $ M $ from these geometric data. $ X_{M} $ is a subvariety of the cone $ X $ of self-commuting odd elements. For finite-dimensional $ M $, $ X_{M} $ is invariant under the action of the underlying Lie group $ G_{0} $. For simple superalgebra with invariant symmetric form, $ X $ has finitely many $ G_{0} $-orbits; we associate a number (rank) to each such orbit. One can also associate a number (degree of atypicality) to an irreducible finite-dimensional representation. We prove that if $ M $ is an irreducible $ {\mathfrak g} $-module of degree of atypicality $ k $, then $ X_{M} $ lies in the closure of all orbits on $ X $ of rank $ k $. If $ {\mathfrak g}={\mathfrak g}{\mathfrak l}(m|n) $ we prove that $ X_{M} $ coincides with this closure.

研究の動機と目的

• 有限次元リースーパー代数 $\mathfrak{g}$ 上の加群 $M$ の関連多様体 $X_M$ を定義・研究し、古典的な関連多様体の概念を超えてスカラー化の設定に一般化すること。
• リーダイニス群 $G_0$ が自己可換な奇数次元要素の錐 $X$ 上に作用することにより、有限次元表現の幾何的不変量を確立すること。
• 既約表現の典型性度とその関連多様体 $X_M$ の $G_0$-軌道構造との関係を特定すること。
• $\mathfrak{gl}(m|n)$ に対して、関連多様体 $X_M$ がちょうど典型性度に等しいランクのすべての $G_0$-軌道の閉包に一致することを証明すること。

提案手法

• 関連多様体を $X_M = \{x \in X \mid M_x \not= 0\}$ と定義する。ここで $X = \{x \in \mathfrak{g}_1 \mid [x,x] = 0\}$ は、自己可換な奇数次元要素の錐である。
• リーマン代数 $\mathfrak{g}_0$ を持つ simply-connected リー群 $G_0$ の作用を用いて、有限次元 $M$ に対して $X_M$ が $G_0$-不変かつザリスキ閉であることを示す。
• 微分 $\partial(\varphi)(x) = x\varphi(x)$ を通じて $X$ 上に coherent sheaf $\mathcal{M}$ を構成し、そのコホロジーが関連多様体のセクションの層を与える。
• 不変対称形式を持つ contragredient 単純リースーパー代数に対して、$X$ 上の $G_0$-軌道を分類し、各軌道にランクを割り当てる。
• 既約表現の典型性度を、その最高ウェイトに含まれる互いに直交する零空間根の数として定義する。
• 関連多様体 $X_M$ が、$M$ の典型性度に等しいランクのすべての $G_0$-軌道の閉包に含まれることを証明する。$\mathfrak{gl}(m|n)$ に対しては、等号が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リースーパー代数加群の関連多様体を幾何的にどのように定義できるか。また、どのような不変量を含むか。
• RQ2 錐 $X$ 上の $G_0$-軌道構造と有限次元加群の表現論的性質との関係は何か。
• RQ3 既約表現の典型性度は、$X_M$ 内の $G_0$-軌道の閉包にどのように関係するか。
• RQ4 $\mathfrak{gl}(m|n)$ に対して、関連多様体 $X_M$ はちょうど典型性度に等しいランクのすべての $G_0$-軌道の閉包に一致するか。
• RQ5 関連多様体を用いて、有限次元加群のコホモロジー群やスーパーチャラクターを分析できるか。

主な発見

• 任意の有限次元 $\mathfrak{g}$-加群 $M$ に対して、関連多様体 $X_M$ は、自己可換な奇数次元要素の錐 $X$ の $G_0$-不変なザリスキ閉部分多様体である。
• 関連多様体は $X_{M \oplus N} = X_M \cup X_N$ および $X_{M \otimes N} = X_M \cap X_N$ を満たし、有限次元 $M$ に対して $X_{M^*} = X_M$ である。
• $\mathfrak{gl}(m|n)$ に対して、典型性度 $k$ の既約有限次元加群 $M$ の関連多様体 $X_M$ は、ちょうど $X$ 内のランク $k$ のすべての $G_0$-軌道の閉包に一致する。
• 典型性度 $k$ の既約加群 $M$ に対して、$X_M$ はランク $k$ のすべての $G_0$-軌道の閉包に含まれる。$\mathfrak{gl}(m|n)$ に対しては、この包含関係が等号に一致する。
• コホモロジー $H^i(\mathfrak{g}(-1); M)$ は、層 $\mathcal{H}_M$ の台によって制御され、$\overline{X_k} \cap \mathfrak{g}(-1)$ に等しい。ここで $X_k$ はランク $k$ の $G_0$-軌道の和集合である。
• 典型的加群（典型性度 0）に対して、$\mathcal{H}_M$ は 0 のみに台を持つ。また $\mathcal{H}_M(0) = H^0(\mathfrak{g}(-1), M)$ であり、これは $\mathfrak{g}(-1)$ 上での自由性を反映している。