[論文レビュー] On Asymptotic Exponentiality of the Distribution of First Exit Times for a Class of Markov Processes

Moshe Pollak, Alexander G. Tartakovsky|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2006

Simulation Techniques and Applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、再生埋め込みを用いないモーメント生成関数の収束を用いて、非負のハリス再帰的マルコフ過程が区間 [0, A] から最初に抜けるまでの時間を A → ∞ のとき漸近的に指数分布的になることを確立する。標準化定数は準定常分布に関連付けられ、結果は変化点検出におけるランレングス分布に応用される。

ABSTRACT

We consider the first exit time of a nonnegative Harris-recurrent Markov process from the interval $[0,A]$ as $A o\infty$. We provide an alternative method of proof of asymptotic exponentiality of the first exit time (suitably standardized) that does not rely on embedding in a regeneration process. We show that under certain conditions the moment generating function of a suitably standardized version of the first exit time converges to that of $\Exp(1)$, and we connect between the standardizing constant and the quasi-stationary distribution (assuming it exists). The results are applied to the evaluation of a distribution of run length to false alarm in change-point detection problems.

研究の動機と目的

• 非負のハリス再帰的マルコフ過程について、区間 [0, A] から最初に抜けるまでの時間の分布が A → ∞ のとき漸近的に指数分布的になることを確立すること。
• 再生過程への埋め込みに依存しない証明法を提供し、埋め込み仮定を回避すること。
• 存在する場合、抜けるまでの時間の分布の標準化定数が準定常分布に関連することを示すこと。
• 理論的結果を、変化点検出問題における誤検出までのランレングス分布に応用すること。

提案手法

• 適切に標準化された最初の抜けるまでの時間のモーメント生成関数（mgf）が、Exp(1)分布のmgfに収束することを用いる。
• 再生構造に依存せずに、収束が指数分布のmgfに至ることを保証する条件下で、抜けるまでの時間のmgfを分析する。
• ハリス再帰性の性質と準定常分布の存在を用いて、標準化定数を特徴付ける。
• ラプラス変換およびモーメント生成関数の振る舞いを分析することで、抜けるまでの時間の分布の漸近的挙動を導出する。
• 理論的枠組みを、抜けるまでの時間が誤検出時刻に対応する逐次変化点検出におけるランレングス分布に応用する。
• 標準化定数が、準定常分布の平均と漸近的に関連していることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負のハリス再帰的マルコフ過程が区間 [0, A] から最初に抜けるまでの時間が、適切に標準化されたとき、A → ∞ の下でどの条件下で指数分布に分布収束するか？
• RQ2 プロセスを再生構造に埋め込むことなく、抜けるまでの時間の漸近的指数性を確立できるか？
• RQ3 抜けるまでの時間の標準化定数は、プロセスの準定常分布とどのように関連しているか？
• RQ4 標準化された抜けるまでの時間のモーメント生成関数とExp(1)分布との間にはどのような関係があるか？
• RQ5 抜けるまでの時間の漸近的分布は、変化点検出における誤検出までのランレングスのモデル化にどのように応用できるか？

主な発見

• 提示された条件下で、適切に標準化された最初の抜けるまでの時間のモーメント生成関数は、Exp(1)分布のmgfに収束する。
• 準定常分布が存在する場合、抜けるまでの時間の標準化定数は、その平均と漸近的に関連している。
• 漸近的指数性の証明は、プロセスを再生構造に埋め込む必要がなく、新たな解析的手法を提供する。
• 誤検出までのランレングス分布を指数分布で近似する理論的基盤を提供する。
• mgfの収束は、分布収束を示し、抜けるまでの時間の漸近的指数性を確立する。
• この枠組みは、明確な準定常分布を持つプロセスを含む広範なマルコフ過程のクラスに適用可能である。