[論文レビュー] On asymptotic isotropy for a hydrodynamic model of liquid crystals

Mimi Dai, Eduard Feireisl+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Navier-Stokes equation solutions被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、Qテンソルと非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式によって記述されるネマチック液晶の流体モデルに対する解の最適減衰率 (1 + t)⁻³/² を確立する。フーリエ分割法とエネルギー推定を用いて、同調状態が大域的に安定であると仮定した下で、弱解が t → ∞ のとき L² および H¹ 範囲で同調状態 (Q ≡ 0, u ≡ 0) に収束することを証明する。特に、F(0) = 0 かつ Q ≠ 0 のとき F(Q) > 0 である条件を満たすときが該当する。

ABSTRACT

We study a PDE system describing the motion of liquid crystals by means of the Q?tensor description for the crystals coupled with the incompressible Navier-Stokes system. Using the method of Fourier splitting, we show that solutions of the system tend to the isotropic state at the rate (1 + t)-β as t → ∞ for a certain β > 1/2 .

研究の動機と目的

• ネマチック液晶の流体モデルに対する解の長期間における減衰率を確立すること。
• 外部力がない場合の Q テンソルおよび速度場の漸近的挙動を分析すること。
• 解が t → ∞ のとき、(1 + t)⁻³/² の速度で同調状態 (Q ≡ 0, u ≡ 0) に収束することを証明すること。
• 自由エネルギー密度関数 F に対して物理的に妥当な条件下で漸近的同調性が成立することを検証すること。
• エネルギー法およびフーリエ解析を用いて、弱解に対しても減衰推定を拡張すること。

提案手法

• ナビエ＝ストークス系と Q テンソル方程式が結合された系に対して、フーリエ分割法を適用し、減衰推定を導出する。
• エネルギー保存則およびエネルギー不等式を用いて、u および Q の L² および H¹ 範囲を制御する。
• 同調状態の L∞ 穏定性を保証するため、Q テンソル方程式の正規化版を用いる（ξ = 0 のとき）。
• 初期の L² 推定から出発し、フーリエ空間におけるブートストラップ論法を用いて減衰率を向上させる。
• 非線形項を制御するため、時間積分推定においてジェンセンの不等式および変数変換を適用する。
• ポアンカレの恒等式および楕円型正則性を用いて、D¹² ∩ L¹(F) 内の唯一の定常解が Q ≡ 0 であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 t → ∞ のとき、Q テンソル＝ナビエ＝ストークス系の解の最適減衰率は何か？
• RQ2 自由エネルギー密度関数 F に対してどのような条件下で系は漸近的同調性（Q → 0, u → 0）を示すか？
• RQ3 非局所項 ∆Q − L[∂F(Q)] を含む非線形連立偏微分方程式系に、フーリエ分割法を適応可能か？
• RQ4 Q の H¹ 減衰および u の L² 減衰は、初期エネルギーおよび F の構造にどのように依存するか？
• RQ5 F に対して一般な仮定を置いたとき、弱解に対し同調状態は大域的漸近的安定性を示すか？

主な発見

• Q テンソル＝ナビエ＝ストークス系の解は、t → ∞ のとき同調状態に (1 + t)⁻³/² の速度で収束する。
• 減衰率 (1 + t)⁻³/² は最適であり、線形化系の減衰率と一致する。
• 多項式型ポテンシャル F(Q) = (a/2)|Q|² + (b/3)trace(Q³) + (c/4)|Q|⁴ に対して、a > 0 かつ |b| ≤ b(a, c)、c > 0 のとき、大域的減衰が成立する。
• a ≤ 0 だが c > 0 のとき、Q の L² 範囲が一様に有界であれば、L∞(R³) でのゼロへの減衰が依然として達成される。
• D¹²(R³; R³×³) かつ F(Q) ∈ L¹(R³) のクラスにおける唯一の定常解は Q ≡ 0 であり、これにより漸近的同調性が保証される。
• フーリエ分割法は非線形項を効果的に制御でき、非局所項 ∆Q − L[∂F(Q)] を含む系に対しても、鋭い減衰推定を導出できる。