[論文レビュー] On asymptotic property C

Trevor Davila|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、漸近的性質Cが有限個の直積において保存され、かつ、有限漸近次元をもつ群の可算制限直積に対しても成り立つことを確立する。また、無限次元版として、双曲的性質Cと弱双曲的性質Cを導入し、弱双曲的性質Cが直線的有限分解複雑性（sFDC）を含むことを証明し、したがって性質Aを含むことを示す。

ABSTRACT

Asymptotic property C was introduced by Dranishnikov to study spaces with infinite asymptotic dimension. We show that asymptotic property C is preserved by infinite products. We also show that countable restricted direct products of countable groups with finite asymptotic dimension have asymptotic property C. Then we introduce hyperbolic property C, an infinite dimensional version of hyperbolic dimension.

研究の動機と目的

• 有限直積における漸近的性質Cの保存を証明し、[BBGRZ]および[BM]における疑問を解決すること。
• 有限漸近次元をもつ可算群の可算制限直積が漸近的性質Cをもつことの証明。
• 双曲的性質Cと弱双曲的性質Cを、双曲的次元の無限次元版として導入すること。
• 漸近的性質C、双曲的性質C、弱双曲的性質C、sFDC、および性質Aの間の含意関係を確立すること。
• 弱双曲的性質CがsFDCを含み、したがって性質Aを含むことを示し、無限次元距離空間における大規模幾何的性質の理解を深めること。

提案手法

• 漸近的性質Cの定義を用いる：任意の半径の増加列 $ R_0 \leq R_1 \leq \cdots $ に対して、一様有界な $ R_i $-非連結族からなる有限被覆が存在する。
• 各因子空間からの $ R_i $-非連結族を組み合わせて、積空間の被覆を構成する有限直積の構成を適用する。
• 有限漸近次元をもつ可算群の制限直積構成を適用し、適切な左不変距離の粗同値性を用いる。
• 双曲的性質Cを、一様大規模二重性を要請する被覆条件として定義し、弱双曲的性質Cをその弱いバージョンとして定義する。
• 分解関係 $ \mathcal{X} \stackrel{R}{\longrightarrow} \mathcal{Y} $ を用いて、一様有界族に至る分解の鎖を構築する。
• 命題4.4（一様有界な有限漸近次元族におけるsFDC）および[NR]の命題4.5を適用し、弱く一様な大規模二重性をもつ族が一様有限漸近次元をもつことを示し、sFDCの実現を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的性質Cは、距離空間の有限直積においても保存されるか？
• RQ2 有限漸近次元をもつ可算群の可算制限直積において、漸近的性質Cは成立するか？
• RQ3 sFDCおよび性質Aを含むような、双曲的次元の無限次元一般化をどのように定義できるか？
• RQ4 双曲的性質Cおよび弱双曲的性質Cは、漸近的性質CおよびsFDCとどのように関係するか？
• RQ5 弱双曲的性質CはsFDCおよびしたがって性質Aを含むか？

主な発見

• 漸近的性質Cは有限直積において保存され、[BBGRZ]および[BM]における予想が裏付けられた。
• 有限漸近次元をもつ可算群の可算制限直積は、漸近的性質Cをもつ。これは[ Y ]の質問3.2に対する部分的な肯定的解答を与える。
• 双曲的性質Cは、一様有界かつ $ R_i $-非連結族からなる一様大規模二重被覆を要請する被覆条件として定義される。
• 弱双曲的性質Cは同様に定義されるが、より弱い大規模二重性条件を要請する。
• 弱双曲的性質Cは、一様有界族に至る分解の鎖を構成することで、sFDCを含むことが示された。
• 結果として、弱双曲的性質Cは性質Aを含むことが示され、以下の含意鎖が完成する：漸近的性質C $\Rightarrow$ 双曲的性質C $\Rightarrow$ 弱双曲的性質C $\Rightarrow$ sFDC $\Rightarrow$ 性質A。