[論文レビュー] On asymptotic solvability of random graph's laplacians

A. Khorunzhy, Valentin Vengerovsky|ArXiv.org|Sep 19, 2000

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、エッジ確率 $ p = 1/N $ のエロシュ・レニイのランダムグラフの隣接行列が $ N \to \infty $ の際に漸近的に可解であることを確立し、固有値分布の極限モーメントに対する明示的な再帰的関係を導出している。主な結果は、極限スペクトル測度が無限大の台を持つことであり、これは、有界スペクトルを持つ正則グラフとは対照的である。

ABSTRACT

We observe that the Laplacian of a random graph G on N vertices represents and explicitly solvable model in the limit of infinitely increasing N. Namely, we derive recurrent relations for the limiting averaged moments of the adjacency matrix of G. These relations allow one to study the corresponding eigenvalue distribution function; we show that its density has an infinite support in contrast to the case of the ordinary discrete Laplacian.

研究の動機と目的

• エッジ確率 $ p = 1 $ のランダムグラフ $ G_N^{(p)} $ の隣接行列の $ N \to \infty $ における漸近的スペクトル的性質を分析すること。
• 隣接行列の固有値分布の極限モーメントに対する閉形式の再帰式を導出すること。
• 極限スペクトル測度が有限な台を持つか、無限大の台を持つかを特定し、正則グラフと対比すること。
• Wignerの独立成分を有するランダム行列の手法を、$ p \sim 1 $ のスパースな領域にまで拡張すること。

提案手法

• 木上のウォークの組合せ的数え上げを用いて、根付き木をカバーする偶数次ウォークの数の再帰的関係を導出する。
• $ W_u(v) $ を根 $ v $ を $ 2u $ ステップで $ v $ 回訪問するウォークの数と定義し、初期条件 $ W_j(0) = \delta_{j0} $ を用いて再帰 $ W_u(v) = \sum_{i=1}^v \sum_{j=v-i}^{u-i} \sum_{l=0}^{u-i-j} W_{u-i-j}(l) \binom{l+i-1}{i-1} \binom{v-1}{i-1} W_j(v-i) $ を導出する。
• 極限モーメント $ m_k $ を計算するために、関係式 $ m_k = \sum_{r=0}^k W_k(r) $ を用いる。
• [5,6,7] の手法を用いて、独立成分を持つスパースなランダム行列を扱い、$ p=1 $ の場合に従来の手法が失敗する状況に適応する。
• モーメント法を用いて、極限スペクトル測度 $ \sigma^{(1)} $ の性質（台や一意性）を推論する。
• 色分けされた木を用いてエッジの重複度をモデル化することで、$ \Delta_N = V^{(N)} - A^{(N)} $ のグラフラプラシアンへの枠組みの拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパースなランダムグラフ（$ p=1 $）の隣接行列の極限固有値分布が無限大の台を持つだろうか？
• RQ2 スパースなランダムグラフにおける隣接行列のモーメントが、木上のウォーク数の再帰的関係によって $ N \to \infty $ の極限で計算可能だろうか？
• RQ3 スパースなランダムグラフのスペクトル的挙動は、正則グラフや稠密なランダム行列とはどのように異なるか？
• RQ4 スパースなエロシュ・レニイのモデルにおける最大固有値の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ5 [5,6,7] の手法をランダムグラフのラプラシアン行列に拡張できるか？

主な発見

• 隣接行列固有値分布の極限 $ 2k $ 次モーメント $ m_k $ は $ m_k = \sum_{r=0}^k W_k(r) $ で与えられ、$ W_k(r) $ は初期条件 $ W_j(0) = \delta_{j0} $ を満たす再帰的公式に従う。
• モーメントは $ k \to \infty $ のとき $ m_{2k} \geq (k/2)^{k/2}(1+o(1)) $ を満たし、極限スペクトル測度が無限大の台を持つことを示唆している。
• 極限スペクトル測度 $ \sigma^{(1)} $ は一意的であり、$ m_{2k} \leq (C_2 k)^{2k} $ がモーメント問題の収束を保証する。
• スパースな領域における $ A^{(N,1)} $ の最大固有値は $ N \to \infty $ の際に発散し、$ \|A^{(N,1)}\| \to \infty $ となる。これは、スパースな領域において任意に大きな次数を持つ頂点が存在するためである。
• ラプラシアン $ \Delta_N $ に対しても、$ A^{(N)} $ と $ (A^{(N)})^2 $ を含む混合モーメントを計算することで、色分けされた木を用いて構造をモデル化することで、手法が適用可能である。
• 重み付きランダムグラフや多重グラフへの一般化は、$ A_{ij} $ が正の整数値または確率的重みを取ることを許容することで可能になる。