[論文レビュー] On asymptotic stability of N-solitons of the defocusing nonlinear Schrodinger equation

Scipio Cuccagna, Robert Jenkins|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2014

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ひとこと要約

本稿では、${\overline{\partial}}$-一般化非線形勾配降下法を用いて、有限密度の初期データをもつ焦点外非線形シュレーディンガー方程式のN-ソリトン解の漸近的安定性を確立する。解のソリトン的領域 $|x|<2t$ における主要項の漸近的近似を導出し、初期データに有限階のモーメントが存在する場合に $t\to\infty$ のとき誤差が減少することを証明し、非ゼロ背景上でのN-ソリトン配置の長時間安定性を確認する。

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem for the Gross-Pitaevskii (GP) equation. Using the DBAR generalization of the nonlinear steepest descent method of Deift and Zhou we derive the leading order approximation to the solution of the GP in the solitonic region of space time $|x| &lt; 2t$ for large times and provide bounds for the error which decay as $t o \infty$ for a general class of initial data whose difference from the non-vanishing background possess's a fixed number of finite moments and derivatives. Using properties of the scattering map for (GP) we derive as a corollary an asymptotic stability result for initial data which are sufficiently close to the N-dark soliton solutions of (GP).

研究の動機と目的

• 非ゼロで有限密度の初期データをもつ焦点外非線形シュレーディンガー方程式の $N$-ソリトン解の漸近的安定性を確立すること。
• 高度な逆散乱理論と漸近的解析を用いて、ソリトン的領域 $|x|<2t$ における解の正確な長時間漸近的近似を導出すること。
• 初期データの背景からのずれが固定された数の有限モーメントおよび微分を持つ場合に、$t\to\infty$ のとき誤差が減少する定量的誤差境界を提供すること。
• 初期データが $N$-ダークソリトン解に十分近い場合、NLS発展下で漸近的に安定であることを証明すること。
• Deift-Zhouの勾配降下法を、非ゼロ背景を持つ焦点外NLSに適用可能にするために ${\overline{\partial}}$-一般化を用いること。

提案手法

• DeiftとZhouの非線形勾配降下法の ${\overline{\partial}}$-一般化を用いて、解の長時間挙動を分析する。
• 逆散乱変換（IST）を適用し、離散的極 $\{z_k\}_{k=0}^{N-1}$ を上半平面に持ち、反射係数 $r(z)$ を含む散乱データによって解を特徴付ける。
• Riemann-Hilbert問題の定式化を用いて、時間依存性をパrametricに記述するN-ソリトン解を正確に構成する。
• Laxペア表現とJost関数を用いて基本解とワロンスキー式の恒等式を導出し、摂動解析に用いる。
• 初期ポテンシャルの小規模な $L^\infty$-有界摂動に対する散乱データの摂動解析を、散乱写像のリプシッツ連続性を用いて行う。
• Riemann-Hilbert問題におけるジャンプ行列の解析と、摂動の $L^\infty$ および $L^1$ ノルムによる誤差項の推定を通じて、漸近展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大時間における焦点外NLS方程式の $N$-ソリトン解は、ソリトン的領域 $|x|<2t$ でどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 $t\to\infty$ のとき、真の解と $N$-ソリトン近似との間の誤差の減少率は何か？
• RQ3 背景に相対する有限モーメントおよび微分を持つ初期データに対して、$N$-ソリトン解の漸近的安定性を厳密に確立できるか？
• RQ4 初期ポテンシャルの小規模な摂動下で散乱データはどのように変化するのか？ これによりソリトン安定性にどのような影響があるか？
• RQ5 有限密度の初期データをもつ焦点外NLSにおいて、ソリトン分解の予想はどの程度成立するか？

主な発見

• 焦点外NLS方程式の領域 $|x|<2t$ における解の主要項の漸近的近似は、$t\to\infty$ のとき誤差が $t^{-1/2}$ のオーダーで減少する $N$-ソリトン解で与えられる。
• 背景からの差が $k$ 個の有限モーメントおよび微分を持つ初期データに対して、漸近的近似の誤差は $t^{-k/2}$ のオーダーで減少し、$k$ は有限で固定される。
• 初期ポテンシャルの散乱データは $N$-ソリトン配置を決定し、NLSフロー下で散乱データの進化は自明である。
• $N$-ソリトン解は漸近的に安定である：適切なノルムで $N$-ソリトンに十分近い初期データは、すべての時間で摂動された $N$-ソリトンに近いまま保たれる。
• ソリトン的領域全体にわたり、$L^\infty$-ノルムにおける誤差に一様な境界が得られ、誤差項はポテンシャルの摂動の $L^1$-ノルムによって制御される。
• 解析により、このクラスの初期データに対してソリトン分解の予想が確認された：$t\to\infty$ のとき、解は $N$ 個の個別ソリトンと分散放射成分の和に分解する。