[論文レビュー] On asymptotic structure in compressed sensing

Bogdan Roman, Anders C. Hansen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2014

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 28被引用数 78

ひとこと要約

本論文は、漸近的非一様性、漸近的スパarsity、マルチレベルサンプリングに基づく新しい圧縮センシングフレームワークを提案し、最適なサンプリング戦略が信号構造と解像度に強く依存することを示している。MRI、蛍光顕微鏡、および圧縮イメージングの分野において、ベイズ的手法や近似メッセージパッシングを含む高度なアルゴリズムを用いても、構造的サンプリングが古典的なランダムサンプリングを上回ることを示している。

ABSTRACT

This paper demonstrates how new principles of compressed sensing, namely asymptotic incoherence, asymptotic sparsity and multilevel sampling, can be utilised to better understand underlying phenomena in practical compressed sensing and improve results in real-world applications. The contribution of the paper is fourfold: First, it explains how the sampling strategy depends not only on the signal sparsity but also on its structure, and shows how to design effective sampling strategies utilising this. Second, it demonstrates that the optimal sampling strategy and the efficiency of compressed sensing also depends on the resolution of the problem, and shows how this phenomenon markedly affects compressed sensing results and how to exploit it. Third, as the new framework also fits analog (infinite dimensional) models that govern many inverse problems in practice, the paper describes how it can be used to yield substantial improvements. Fourth, by using multilevel sampling, which exploits the structure of the signal, the paper explains how one can outperform random Gaussian/Bernoulli sampling even when the classical $l^1$ recovery algorithm is replaced by modified algorithms which aim to exploit structure such as model based or Bayesian compressed sensing or approximate message passaging. This final observation raises the question whether universality is desirable even when such matrices are applicable. Examples of practical applications investigated in this paper include Magnetic Resonance Imaging (MRI), Electron Microscopy (EM), Compressive Imaging (CI) and Fluorescence Microscopy (FM). For the latter, a new compressed sensing approach is also presented.

研究の動機と目的

• 信号がスパースではなく、構造的フレーム上で漸近的スパースである現実の応用と、伝統的な圧縮センシング理論とのギャップを埋める。
• 最適なサンプリング戦略がスパarsityだけでなく、信号構造と問題の解像度にも依存することを示す。
• MRI や電子顕微鏡のような現実の逆問題で一般的な無限次元モデルへの圧縮センシング理論の拡張を行う。
• マルチレベルサンプリングが、モデルベースやベイズ的手法を含む高度な回復アルゴリズムを用いても、古典的なランダムガウス／ベルヌーイサンプリングを上回ることを示す。
• ランダムサンプリング行列の普遍性を仮定する考えを疑問視し、信号構造が分かっている場合、構造的サンプリングが優れた性能を発揮することを示す。

提案手法

• 古典的CSの柱を置き換えるために、漸近的非一様性、漸近的スパarsity、マルチレベルサンプリングの3つの新しい原則を導入する。
• 一様ランダムサブサンプリングの代わりに、ウェーブレットまたは *-let フレームにおける信号構造に整合した構造的マルチレベルサンプリングパターンを採用する。
• 無限次元信号をモデル化する一般化されたサンプリングフレームワークを用い、MRI や EM のようなアナログシステムへの応用を可能にする。
• 非一様性を測る指標として、µ(U) = max_{i,j} |u_{ij}|^2 を用い、最適な回復には µ(U) ≲ 1/N が要求されることを示す。
• 測定数の複雑さの上限を導出：m ≳ µ(U) · N · s · (1 + log(1/ϵ)) · log(N) であり、非一様性とスパarsityに依存することを示している。
• l1最小化回復方式を適用：min_z ||z||_1 を ||y - P_Ω U z|| ≤ η に従い、η はノイズレベルに応じて設定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパarsity以外の信号構造が、圧縮センシングにおける最適なサンプリング戦略にどのように影響を与えるか？
• RQ2 問題の解像度が、圧縮センシングの効率性と性能にどの程度影響を及えるか？
• RQ3 ベイズ的または近似メッセージパッシングのような高度な回復アルゴリズムを用いても、マルチレベルサンプリングが古典的なランダムサンプリングを上回るか？
• RQ4 MRI や電子顕微鏡のような実用的イメージング応用で生じる無限次元モデルへの圧縮センシング理論の拡張は可能か？
• RQ5 信号構造が分かっている場合、ランダムサンプリング行列の普遍性は望ましいとされるべきか、それとも劣悪な選択となるか？

主な発見

• ウェーブレットや *-lets フレームにおける信号構造に基づくマルチレベルサンプリングは、MRI、蛍光顕微鏡、および圧縮イメージングにおいて、一様ランダムサブサンプリングを常に上回る性能を発揮する。これは、ベイズ的手法や近似メッセージパッシングを含む高度な回復アルゴリズムを用いても同様である。
• 安定な回復に必要な測定数は、非一様性 µ(U)、スパarsity s、問題次元 N に依存し、m ≳ µ(U) · N · s · (1 + log(1/ϵ)) · log(N) の境界に従う。
• ウェーブレットや *-lets などのフレームにおける漸近的スパarsityは、特に高解像度または無限次元の状況下で、古典的スパarsity仮定よりも優れた回復を可能にする。
• 本フレームワークは、従来のCSが非一様性と無限次元性のため失敗するアナログシステム（MRI や電子顕微鏡など）を的確にモデル化し、性能向上を実現した。
• モデルベースやベイズ的圧縮センシングを用いても、マルチレベル設計による構造的サンプリングは、ランダムサンプリングに比べて優れた再構成品質を達成した。
• 本論文は、ランダムサンプリング行列の普遍性が常に最適ではないことを示しており、信号構造が分かっている場合、構造的サンプリングが顕著な性能向上をもたらすことを明らかにした。