[論文レビュー] On Asymptotically Tight Tail Bounds for Sums of Geometric and Exponential Random Variables

Yaonan Jin, Yingkai Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2019

Probability and Risk Models参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、チェルノフの不等式とスターリングの近似を用いて、独立な幾何分布および指数分布に従う確率変数の和について、漸近的にタイトな指数的尾部確率の境界を確立する。導出された境界が、nが非常に大きい極限において最適であることを証明しており、指数部が正確な対数的尾部確率とo(n)の項を除いて一致する。

ABSTRACT

In this note we prove bounds on the upper and lower probability tails of sums of independent geometric or exponentially distributed random variables. We also prove negative results showing that our established tail bounds are asymptotically tight.

研究の動機と目的

• i.i.d. の幾何分布および指数分布に従う確率変数の正規化された和について、鋭い上側および下側尾部境界を導出すること。
• 変数の数nが無限大に近づく際、これらの境界の漸近的タイト性を確立すること。
• 実用的使用および先行研究との比較を目的として、率関数H(λ,μ)の簡略化された近似を提供すること。
• 尾部境界における主要項の指数が、nが大きい場合にさらに改善できないことを示し、指数の最適性を確認すること。

提案手法

• i.i.d. の幾何分布および指数分布に従う確率変数の和に、チェルノフの不等式を適用して尾部境界を導出する。
• 幾何分布の和に対しては、率関数H(λ,μ) = μλlnλ − (1+μλ)ln((1+μλ)/(1+μ)) を導入し、指数分布の和に対してはG(λ) = λ−1−lnλ を導入する。
• 正確な二項分布およびポアソン分布の尾部確率にスターリングの近似を適用し、漸近的表現を導出する。
• ポアソンおよび二項分布の計数過程の特徴づけを用いて、尾部確率を正確に表現した後、漸近的解析を実施する。
• [Jan18]および[AAGZ17a]の既存結果と比較し、よりタイトまたはより実用的な形であることを示す。
• 境界のタイト性を証明するため、n→∞の極限において、−lnPr / (n×rate) → 1 となることを示し、指数部の最適性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導出された幾何分布および指数分布に従う確率変数の和の尾部境界は、漸近的にタイトか？
• RQ2 率関数H(λ,μ)およびG(λ)は、既存の境界と比較して、タイトさおよび実用性においてどう異なるか？
• RQ3 nが非常に大きい場合に、尾部境界における指数を、導出されたH(λ,μ)またはG(λ)を超えて改善できるか？
• RQ4 これらの和の尾部確率の主要項の漸近的挙動は何か？
• RQ5 H(λ,μ)の近似は、応用における境界の使用をどのように簡略化するか？

主な発見

• 幾何分布の和の上側および下側尾部確率は、H(λ,μ) = μλlnλ − (1+μλ)ln((1+μλ)/(1+μ)) と定義されるH(λ,μ)を用いて、exp{−n·H(λ,μ)} のように減少する。
• 指数分布の和では、尾部確率がexp{−n·G(λ)} と減少し、G(λ) = λ−1−lnλ である。
• 幾何分布の和の上側および下側尾部について、limₙ→∞ [−lnPr / (n·H(λ,μ))] = 1 が成り立つ。これは、漸近的タイト性を証明する。
• 同様に、指数分布の和についても、limₙ→∞ [−lnPr / (n·G(λ))] = 1 が成り立ち、指数部の最適性が確認される。
• 尾部確率の漸近的展開における剰余項はO(log n)であり、O(n)の主要項に比べて無視できる。
• H(λ,μ)のいくつかの簡略化された近似が提供されており、例えばλ∈(0,1]に対してH(λ,μ) ≥ (μ/2(1+μ))(λ−1)² が成り立つ。これは実用的利点を示している。