[論文レビュー] On asymptotics of two non-uniform recursive tree models

Ella Hiesmayr|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本学位論文は、ノードの付加確率がノード固有の重みに依存する重み付き再帰的木（WRT）と、一様なランダム順列の代わりにリフルシャッフル順列を用いて構築されるバイアス付き再帰的木（BRT）という2つの非一様な再帰的木モデルを分析する。WRTは広範な条件下で漸近的に一様再帰的木（URT）に類似するが、BRTはリフルシャッフルのパラメータに依存してURTに収束する独自の挙動を示す。主な結果として、深さ、葉の数、分岐数に関する結果がカップリング法およびマルティンゲール法を用いて確立された。

ABSTRACT

In this thesis the properties of two kinds of non-uniform random recursive trees are studied. In the first model weights are assigned to each node, thus altering the attachment probabilities. We will call these trees weighted recursive trees. In the second model a different distribution rather than the uniform one is chosen on the symmetric group, namely a riffle shuffle distribution. These trees will be called biased recursive trees. For both of these models the number of branches, the number of leaves, the depth of nodes and some other properties are studied. The focus is on asymptotic results and the comparison with uniform random recursive trees. It will be shown that the studied properties of weighted recursive trees are close to uniform recursive trees in many cases when the number of nodes increases. In contrast biased recursive trees show a different behaviour but approach uniform recursive trees depending on the parameters of the riffle shuffle distribution.

研究の動機と目的

• 非一様な再帰的木モデルの漸近的挙動を理解すること、特に一様再帰的木（URT）との比較を通じて。
• ノードの重みおよび非一様な付加メカニズム（特にリフルシャッフル分布）が、深さ、葉の数、分岐数といった構造的性質に与える影響を調査すること。
• 重み付き再帰的木（WRT）がどの条件下で漸近的にURTの挙動に近づくかを確立すること、およびリフルシャッフルのパラメータを変化させた場合のBRTがURTに収束する様子を分析すること。
• 既知のURTに関する結果をWRTおよびBRTへと転送可能なカップリングおよびマルティンゲール技法を開発し、漸近的および集中度解析を可能にすること。

提案手法

• 構造的統計量（深さ、葉の数など）の漸近的分布を比較するために、重み付き再帰的木（WRT）と一様再帰的木（URT）との間のカップリング構成を用いる。
• ノードの深さの分析に、マルティンゲール差分列およびAzéma-Yor埋め込みを適用し、特に非一様な重み列の下でのWRTに注目する。
• バイアス付き再帰的木（BRT）における付加メカニズムをモデル化するためにリフルシャッフル理論および反記録（anti-records）を用い、順列統計における独立構造を活用する。
• 重みが固定または特定の列挙列に従う場合に、WRTにおける従属確率変数の和の多変量正規近似および中心極限定理を適用する。
• WRTとURT、およびパrameter変動下でのBRTとURT間の分布収束を定量化するために、WassersteinおよびKolmogorov距離を用いる。
• BRTにおける分岐数の分析には、リフルシャッフル順列のサイクル構造を用いるが、完全な漸近的分布は未解決のままである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き再帰的木（WRT）がどの条件下で漸近的に一様再帰的木（URT）の統計的挙動に近づくか。
• RQ2 ノードの深さの分布は、ノード数が増加するにつれてどのように振る舞うか。特に、重みが一様性から逸脱している場合に注目する。
• RQ3 リフルシャッフル順列を用いて構築されたバイアス付き再帰的木（BRT）における分岐数の漸近的分布は何か。
• RQ4 リフルシャッフル分布のパラメータは、深さおよび葉の数の観点からBRTがURTに収束する様子にどのように影響を与えるか。
• RQ5 カップリング技法を用いて、URTに関する既知の結果を基に、WRTおよびBRTにおける構造的統計量の集中不等式を導出できるか。

主な発見

• 有限個の非単位重みを持つ重み付き再帰的木（WRT）は、ノードの深さの分布や葉の数の観点で、漸近的に一様再帰的木（URT）に近く近づく。
• WRTにおいては、ノードの期待深さが重み列に依存する値に収束し、特定の条件下では深さ分布が中心極限定理を満たす。
• $a$ パイルを用いたリフルシャッフルから構築されたバイアス付き再帰的木（BRT）では、最大次数が正確に $a$ に等しくなるため、$a$-分岐木に類似した構造的性質を示す。
• BRTにおけるノード深さの期待値は、漸近的にリフルシャッフルの最初のパラメータ $p_1$ のみに依存し、初期分布の強い影響を示す。
• 反記録におけるグローバルな依存性のため、BRTにおける分岐数は未解決の問題のままであるが、リフルシャッフル順列のサイクル構造が今後の道筋を示唆している。
• WRTとURTとの間のカップリング構成により、漸近的および集中度の結果を転送可能であり、他の木の統計量への応用可能性が示唆される。