[論文レビュー] On automorphic L-functions in positive characteristic

Luis Lomelí|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、正標数におけるグローバル関数体上のラングランズ＝シャーディー法を用いて、アサイ、外部平方、対称平方L関数の存在、ならびにそれらのγ因子と根数を確立する。また、分岐型の古典的・準代数的ユニタリ群のシーゲル極大部分群に関連する自動形式的L関数の有理関数性と関数等式を証明し、ヘニアルトによる一意性結果を用いてGL_nにおける局所ラングランズ予想と整合性を確認する。

ABSTRACT

We give a proof of the existence of Asai, exterior square, and symmetric square local $L$-functions, $γ$-factors and root numbers in characteristic $p$, including the case of $p = 2$. Our study is made possible by developing the Langlands-Shahidi method over a global function field in the case of a Siegel Levi subgroup of a split classical group or a quasi-split unitary group. The resulting automorphic $L$-functions are shown to satisfy a rationality property and a functional equation. A uniqueness result of the author and G. Henniart allows us to show that the definitions provided in this article are in accordance with the local Langlands conjecture for ${ m GL}_n$. Furthermore, in order to be self contained, we include a treatise of $L$-functions arising from maximal Levi subgroups of general linear groups.

研究の動機と目的

• 正標数における分岐型古典的・準代数的ユニタリ群のシーゲル極大部分群に対する自動形式的L関数理論を完成させること。
• アサイ、外部平方、対称平方の局所L関数の存在とそれらに付随するγ因子および根数（p=2の場合を含む）を確立すること。
• 構築されたL関数が有理関数性と関数等式を満たし、グローバルおよび局所ラングランズ予想と整合することを検証すること。
• 一般線形群の極大極大部分群から出発するL関数の自己完備的展開を基礎的道具として提供すること。
• ラングランズ＝シャーディー法を古典的・ユニタリ群の正標数設定に体系的に拡張し、局所因子の乗法的性質を可能にすること。

提案手法

• 分岐型古典的群および準代数的ユニタリ群のシーゲル極大部分群に対して、グローバル関数体上でのラングランズ＝シャーディー法を適用する。
• 相互作用作用素とヴェイターマンモデルを用いて局所係数を定義し、それらをもとにγ因子およびL関数を構成する。
• ユニタリパラボリック誘導とγ因子の乗法的性質を用いて、テンパード表現からの結果を一般表現へ拡張する。
• ゴデマン＝ジャケットL関数とランキン＝セルバーグ積を、理論の基礎的構成要素として用いる。
• ロンメリとヘニアルトの一意性結果を適用し、GL_nにおける局所ラングランズ対応と整合性を保証する。
• すべての場所における局所因子を組み合わせることで、グローバル関数等式を導出する。この際、L関数の有理関数性がq^{-s}の関数として表せることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数（p=2を含む）において、アサイ、外部平方、対称平方L関数は存在するか？
• RQ2 これらのL関数は、グローバル関数体設定において有理関数性と関数等式を満たすか？
• RQ3 構築された局所因子は、正標数におけるGL_nの局所ラングランズ予想と整合的か？
• RQ4 ラングランズ＝シャーディー法は、グローバル関数体上での古典的・ユニタリ群のシーゲル極大部分群に体系的に拡張可能か？
• RQ5 この文脈において、乗法的性質とグローバル関数等式は、どのように局所的構成から導かれるか？

主な発見

• 自動形式的L関数L(s,π,r_i)がq^{-s}の有理関数として表されることを示し、『よい』L関数に求められる有理関数性を確立した。
• グローバル関数等式L(s,π,r_i) = ε(s,π,r_i)L(1-s,π̃,r_i)が成り立ち、ε因子が加法的特徴χに依存しないことが確認された。
• 構築されたγ因子およびL関数は一意に特徴付けられ、ロンメリとヘニアルトの一意性結果を用いてGL_nにおける局所ラングランズ対応と整合的であることが保証された。
• アサイγ因子が定義され、グローバル関数等式を満たすことが証明され、その理論が正標数へ拡張された。
• 理論は完全に自己完備的であり、GL_nの極大極大部分群からのL関数およびゴデマン＝ジャケット因子の基礎的取り扱いを含んでいる。
• テンパード誘導と非分岐変種を用いてL関数およびε因子の乗法的性質が確立され、テンパード表現から任意の表現へ一般化が可能となった。