[論文レビュー] On automorphism groups of fiber bundles

Michel Brion|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、代数群やアーベル多様体の下でのトーラスとファイバー束の自己同型群に関する、古典的複素幾何学的結果のスキーム論的類似を確立する。$G$ がアーベル多様体であるとき、完全な多様体上の $G$-トーラスの連結自己同型群が、底面の自己同型群へ全射であることを証明し、ブランシャールの定理を拡張することで、代数幾何学におけるアーベル多様体上の同次束の研究を可能にする。

ABSTRACT

We obtain analogues of classical results on automorphism groups of holomorphic fiber bundles, in the setting of group schemes. Also, we establish a lifting property of the connected automorphism group, for torsors under abelian varieties. These results will be applied to the study of homogeneous bundles over abelian varieties.

研究の動機と目的

• ファイバー束の自己同型群に関する古典的複素幾何学的結果を、代数幾何学および群スキームの設定に拡張すること。
• $G$ がアーベル多様体であるとき、$G$-トーラスの連結自己同型群に上昇性質を確立し、底面の自己同型群へ全射となるように保証すること。
• $G$-トーラス $X \to Y$ と $G$-同次多様体 $Z$ に対して、関連するファイバー束 $X \times^G Z$ が代数空間ではなくスキームとして存在することを証明すること。
• ブランシャールの定理のスキーム論的バージョンを提供し、構造層の押し出し写像が自明であるような固有射を通じて自己同型が下がることを示すこと。
• 上昇および降下技術を用いて、線形構造群に還元することで、アーベル多様体上の同次束を研究するための道具を構築すること。

提案手法

• 固有射 $\pi: X \to Y$ で $\pi_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y$ を満たすものを使って、ブランシャールの定理の証明を代数幾何学に適応し、$\pi_*: \mathrm{Aut}^o(X) \to \mathrm{Aut}^o(Y)$ という準同型を誘導する。
• $G$-トーラス $\pi: X \to Y$ と $G$-同次多様体 $Z$ を用いて、関連するファイバー束 $X \times^G Z$ を構成し、$Z$ が $G$-トーラスであるか、同型を通じて $G$-作用をもつ場合に、それがスキームとして存在することを証明する。
• 等変完備化技術を用いて、固有スキーム上の $G$-トーラスの等変自己同型群が、局所有限型の群スキームであることを証明し、モリモトの定理を一般化する。
• シェヴァリエの構造定理を適用して、連結代数群をアフィン部分とアーベル部分に分解し、相対自己同型群の解析を可能にする。
• 自己同型の上昇結果を証明する：$X \to Y$ が $G$-トーラスで、$G$ がアーベル多様体、$X,Y$ が滑らかで完全なとき、$X$ の連結自己同型群が $Y$ のものへ全射である。
• 特異点の除去技術と基底変換を用いて、問題を正規多様体の状況に還元し、等変特異点除去において $f_*\mathcal{O}_{Y'} = \mathcal{O}_Y$ が成り立つことを利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G$ がアーベル多様体であるとき、完全な多様体上の $G$-トーラスの連結自己同型群は、底面の自己同型群へ全射となるか？
• RQ2 複素リー群の作用がブランシャールの結果で底面へ下がることを、代数群スキームおよび構造層の押し出し写像が自明な固有射の設定に一般化できるか？
• RQ3 $X \to Y$ が $G$-トーラスで $Z$ が $G$-同次多様体であるとき、関連するファイバー束 $X \times^G Z$ が代数空間ではなくスキームとして存在する条件は何か？
• RQ4 固有スキーム上の $G$-トーラスの等変自己同型群は、局所有限型の群スキームであるか？また、$G$ の構造とどのように関係するか？
• RQ5 滑らかな射で相対接続バンドルが自明な場合、特にアーベル多様体の下でのトーラスの文脈において、底面のグローバルベクトル場が全空間のグローバルベクトル場に上昇可能か？

主な発見

• アーベル多様体 $G$ と滑らかで完全な多様体 $X,Y$ をもつ $G$-トーラス $X \to Y$ に対して、$X$ の連結自己同型群が $Y$ の連結自己同型群へ全射であることを示し、重要な上昇性質を確立した。
• 任意の部分群スキーム $H \subset G$ に対して、関連するファイバー束 $X \times^G G/H = X/H$ はスキームとして存在する。さらに一般に、$Z$ が $G$-トーラスであるか、同型を通じて $G$-作用をもつ場合、$X \times^G Z$ はスキームとして存在する。
• 固有スキーム上の $G$-トーラスの等変自己同型群は、局所有限型の群スキームである。これは、モリモトの定理の代数幾何学的類似を提供する。
• $X \to Y$ が $G$-トーラスで $G$ がアーベル多様体、$X,Y$ が滑らかで完全なとき、$ \mathrm{Aut}^G(X)$ の中にある閉じた連結部分群 $H$ が存在し、自然な写像 $\pi_*$ を通じて $ \mathrm{Aut}^o(Y)$ に同種である。
• 特性 0 および正規性の仮定の下で、$\pi_*: \mathrm{Aut}^o(X) \to \mathrm{Aut}^o(Y)$ の全射性が成り立ち、相対接続バンドルが自明な場合のベクトル場上昇に対しても拡張可能である。
• 正標数および非固有な $G$ の場合、反例（アーベル多様体上の非 torsion 線束に対応する $\mathbb{G}_m$-トーラス）により、この結果は成り立たない。