[論文レビュー] On automorphism groups of low complexity subshifts

Sebastián Donoso, Fabien Durand+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2015

Cellular Automata and Applications参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、低複雑性の部分シフトの自己同型群を調査し、非周期的で最小かつ特定の推移的で非超線形複雑性を示す部分シフトに対して、自己同型群がほとんど ℤ であることを証明している。これは、自己同型群をシフト群で割った商が有限であることを意味する。主な技術的アプローチは、漸近的ペアと語の複雑性の分析にあり、結果は非超線形と超多項式的複雑性が混在する部分シフトへと拡張され、任意の有限群が商群として実現可能であることが示された。

ABSTRACT

In this article we study the automorphism group ${\ m Aut}(X,\\sigma)$ of subshifts $(X,\\sigma)$ of low word complexity. In particular, we prove that Aut$(X,\\sigma)$ is virtually $\\mathbb{Z}$ for aperiodic minimal subshifts and certain transitive subshifts with non-superlinear complexity. More precisely, the quotient of this group relative to the one generated by the shift map is a finite group. In addition, we show that any finite group can be obtained in this way. The class considered includes minimal subshifts induced by substitutions, linearly recurrent subshifts and even some subshifts which simultaneously exhibit non-superlinear and superpolynomial complexity along different subsequences. The main technique in this article relies on the study of classical relations among points used in topological dynamics, in particular, asymptotic pairs. Various examples that illustrate the technique developed in this article are provided. In particular, we prove that the group of automorphisms of a $d$-step nilsystem is nilpotent of order $d$ and from there we produce minimal subshifts of arbitrarily large polynomial complexity whose automorphism groups are also virtually $\\mathbb{Z}$.

研究の動機と目的

• 語の複雑性がゆっくりと増加する場合に、低複雑性部分シフトにおける自己同型群の構造を理解すること。
• 置換部分シフトおよび線形再帰的系における既知の自己同型群の結果を、より広いクラスの推移的・最小部分シフトへと拡張すること。
• 語の複雑性が異なる部分列で非超線形および超多項式的成長を示す場合でも、自己同型群がまだほとんど ℤ であるかどうかを検証すること。
• 任意の有限群が、このような系における自己同型群をシフト群で割った商として実現可能であることを示すこと。
• 訪問時間関数と自己同型群の成長率との関係を探索し、グロモフ型の結果を位相的力学へ一般化すること。

提案手法

• 自己同型群の構造を制限するために、部分シフト内の漸近的ペアを分析すること。
• 語の複雑性関数 $ p_X(n) $ を用い、特に $ \liminf_{n\to\infty} \frac{p_X(n)}{n} < \infty $ の条件下で自己同型群のサイズを制限すること。
• すべての $ n $ 時間長の語を含む語の最小長として定義される訪問時間マップ $ R_X''(n) $ を導入し、自己同型群の成長をバインドすること。
• シャラムとタオによる定量的群成長結果を適用し、$ R_X''(n) = O(n^d) $ のとき、$ \mathrm{Aut}(X,\sigma) $ の任意の有限生成部分群が、階数 $ d $ で有界されたほとんどニルポテンシーであることを示すこと。
• $ d $ 段階のニルシステムから、任意に大きな多項式的複雑性を持つが、自己同型群がまだほとんど ℤ であるような最小部分シフトを構成すること。
• 位相的力学の理論と点間の関係を用いて、自己同型群の部分シフト上での作用を制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 語の複雑性にどのような条件下で、推移的または最小部分シフトの自己同型群がほとんど ℤ となるか？
• RQ2 異なる部分列で非超線形および超多項式的複雑性を示す部分シフトに対し、自己同型群がまだほとんど ℤ であるか？
• RQ3 任意の有限群が、ある低複雑性部分シフトに対して $ \mathrm{Aut}(X,\sigma)/\langle \sigma \rangle $ として実現可能か？
• RQ4 訪問時間関数 $ R_X''(n) $ は、部分シフトにおける自己同型群の成長率とどのように関係するか？
• RQ5 非拡張的方向または漸近的成分を用いて、自己同型群がほとんど ℤ であるという結果を、高次元部分シフトへと拡張可能か？

主な発見

• 非周期的最小部分シフトおよび $ \liminf_{n\to\infty} \frac{p_X(n)}{n} < \infty $ を満たす特定の推移的部分シフトに対して、自己同型群 $ \mathrm{Aut}(X,\sigma) $ はほとんど ℤ である。
• 任意の有限群は、非超線形複雑性を持つある最小部分シフトに対して、$ \mathrm{Aut}(X,\sigma)/\langle \sigma \rangle $ として実現可能である。
• 主定理を満たす部分シフトのクラスには、プリミティブな置換、線形再帰的部分シフト、および異なる部分列で複雑性成長が混在する系が含まれる。
• 部分シフトに対して $ R_X''(n) = O(n^d) $ が成り立つとき、$ \mathrm{Aut}(X,\sigma) $ の任意の有限生成部分群は、階数が $ d $ で有界されたほとんどニルポテンシーである。
• $ d $ 段階のニルシステムの自己同型群はクラス $ d $ のニルポテンシーであり、このような系から、任意に大きな多項式的複雑性を持つが自己同型群がまだほとんど ℤ であるような最小部分シフトを構成可能である。
• 訪問時間関数 $ R_X''(n) $ は $ R_X''(n) \geq p_X(n) + n - 1 $ を満たし、ストゥルミアン部分シフトでは $ R_X''(n) \leq 2n $ であり、線形再帰的部分シフトでは $ R_X''(n) = O(n) $ である。