[論文レビュー] On automorphisms of categories of free algebras of some varieties

B. Plotkin, Grigori Zhitomirski|ArXiv.org|Jan 20, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、特定の普遍代数的多様体における自由代数の圏の自己同型を分類するための新規手法を開発し、2つの主要なケースにおいて、すべての自己同型がほぼ内部的（半内部的）であることを示している：無限体上の自由結合代数および単位的 R-加群における群の表現。この手法は、構造を保つ双対写像と導来代数的演算を用い、自己同型の分類を環自己同型および群自己同型に還元する。

ABSTRACT

Given a variety of universal algebras. A method is suggested for describing automorphisms of a category of free algebras of this variety. Applying this general method all automorphisms of such categories are found in two cases: 1) for the variety of all free associative K-algebras over an infinite field K and 2) for the variety of all representations of groups in unital R-modules over a commutative associative ring R with unit. It turns out that they are almost inner in a sense.

研究の動機と目的

• 普遍代数的多様体における自由代数の圏の自己同型を記述する一般的手法を開発すること。
• 無限体 K 上の自由結合代数の圏の自己同型を特徴づけること。
• 可換環 R における単位的 R-加群への群表現の圏の自己同型を記述すること。
• 両ケースにおける自己同型が半内部的であることを示すこと、すなわち内部自己同型と環／群自己同型によって誘導されるねじれの合成であることを示すこと。
• 潜在的内部自己同型が拡張圏を介して実際に内部的になるための条件を確立すること。

提案手法

• 拡張圏 D を用いて潜在的内部自己同型の概念を導入し、元の圏に制限された D 内の内部自己同型から生じる自己同型を定義する。
• 生成元 x₀ を持つ単生成自由代数 A₀ を用いて、A 内の各元 a ∈ A と A₀ → A への準同型 αₐ の間の対応関係を定義する。ここで αₐ(x₀) = a である。
• A₀ を固定する自己同型 Φ に対して、各 A に対して写像 sᴬ: A → A を sᴬ(a) = Φ(αₐ)(x₀) で定義し、自己同型と構造を保つ写像を結びつける。
• Φ が潜在的内部的であることと、Φ(A₀) が A₀ に同型であることとは同値であり、これにより同型類への還元が可能になる。
• A と同じ集合上に、演算が多項式的（項で定義される）である導来代数的構造 A* を構成し、写像 sᴬ: A → A* が同型となるようにする。
• この手法を十分に多くの生成元を持つ自由代数に適用し、導来構造 A* が多項式的に定義可能であることを証明し、これにより環および群自己同型による分類が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由代数の圏のすべての自己同型が潜在的内部的であるための条件は何ですか？
• RQ2 無限体 K 上の自由結合代数の自己同型は、どのように完全に分類できますか？
• RQ3 R-加群における群表現の自己同型は、環自己同型および群自己同型とどのように関係していますか？
• RQ4 潜在的内部自己同型が実際に内部的であるのはいつで、どのような拡張圏 D がこれを可能にしますか？
• RQ5 導来代数 A* の構造は、多項式的演算の観点から明示的に記述可能でしょうか？

主な発見

• 無限体 K 上の自由結合代数の圏のすべての自己同型は半内部的であり、すなわち内部自己同型と環自己同型によって誘導される標準的なねじれ自己同型の合成である。
• 単位的 R-加群における群の表現の圏において、正則表現を同型な表現に写す自己同型は半内部的であり、ねじれは環自己同型から生じる。
• 無限体 K 上の自由結合代数の圏の自己同型群は、内部自己同型群と K の環自己同型群の半直積に同型である。
• 生成数が arities 以上である自由代数 A における導来構造 A* は多項式的に定義可能であり、すべての演算が元の代数内の項によって与えられる。
• 鏡自己同型（群上で g ↦ g⁻¹、加群上で w ↦ w·g⁻¹ と定義される）は、中心的自己同型を誘導し、拡張された圏では内部的である。
• 最終的な分類では、(Rep-R)⁰ のすべての自己同型が適切な拡張圏 Θ に関して Θ-内部的であり、したがって環自己同型および内部自己同型を介して半内部的であることが示された。