[論文レビュー] On average sizes of Selmer groups and ranks in families of elliptic curves having marked points

Manjul Bhargava, Wei Ho|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2022

Analytic Number Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有理点を指定した楕円曲線の族において、2次および3次セレマー群の平均サイズに対する一様な上界を確立し、特に位数2または3の有理点を指定した場合についても、最小曲線や合同条件によって定義される大きな部分族に制限してもこの上界が成り立つことを証明している。主な結果は、このような曲線の平均ランクが有界であることを確認しており、Poonen–Rainsの予想的考察を支持するとともに、楕円曲線の平均ランクに関する先行研究を拡張している。

ABSTRACT

We determine average sizes/bounds for the $2$- and $3$-Selmer groups in various families of elliptic curves with marked points, thus confirming several cases of the Poonen--Rains heuristics. As a consequence, we deduce that the average ranks of the elliptic curves in all of these families are bounded. Our proofs are uniform and make use of parametrizations involving various forms of $2 imes 2 imes 2 imes 2$ and $3 imes 3 imes 3$ matrices that we studied in a previous paper. We also deduce that $100\%$ of genus one curves of the form $y^2 = Ax^4 + Bx^2 z^2 + Cz^4$ with $A, B, C \in \mathbb{Z}$, when ordered by $\max\{|B|^2,|AC|\}$, fail the Hasse principle. Other forthcoming applications include proofs that a positive proportion of integers are (respectively, are not) the sum of two rational cubes, and a positive proportion of genus one curves in $\mathbb{P}^1 imes \mathbb{P}^1$ over $\mathbb{Q}$ fail the Hasse principle.

研究の動機と目的

• 有理点を指定した楕円曲線族におけるセレマー群の平均サイズを特定すること。特に、位数2または3の有理点を指定した場合を含む。
• これらの平均サイズが、最小曲線や合同条件によって定義される大きな部分族に制限しても、依然として有界であることを確立すること。
• このような曲線族の平均ランクが有界であることを確認し、有理点構造を備えた族におけるPoonen–Rainsの予想的考察を支持すること。
• 有理捩り部分群や指定された点を持つ構造的サブ族へと、平均ランクおよびセレマー群サイズの理解を全楕円曲線族を超えて拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、$F_0$、$F_1$、$F_1(2)$、$F_1(3)$、$F_2$ などの各族に対して高さ関数を定義し、曲線のサイズ順に並べる。
• 各族における高さが有界な曲線の数を推定するために、$\mathbb{R}^{n_j}$ の有界領域における格子点の数を数える。
• すべての素数 $p$ に対して $p^2 \nmid \Delta_{\text{red}}(E)$ を満たす曲線を含む族を「大きな」部分族と定義し、密度の保存を保証する。
• Weilの補題とモジュラー還元技術を用いて、特に $F_2$ において、指定された点が $p$ を法として従属する曲線の密度を推定し、独立性が一般的であることを示す。
• $p$-セレマー群の $p$-ランクが代数的ランクを上から抑えることを利用し、平均ランクに対する上界を導出する。
• 中国剰余定理を用いて、多数の素数にわたる局所密度を組み合わせ、指定された点の従属が漸近的にまれであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{Q}$ 上のすべての楕円曲線の族 $F_0$ において、高さ順に並べたときの2次セレマー群の平均サイズは何か？
• RQ2 有理点を指定した族、たとえば $F_1$、$F_1(2)$、$F_1(3)$、$F_2$ において、2次および3次セレマー群の平均サイズはどのように変化するか？
• RQ3 合同条件によって定義される大きな部分族や最小曲線に制限した場合でも、セレマー群の平均サイズは保存されるか？
• RQ4 これらの族における平均ランクの上極限は何か？また、それは有界であるか？
• RQ5 $F_2$ に属する曲線の正の割合において、2つの指定された点がモーデル・ヴェイユ群内で独立であるか？

主な発見

• 族 $F_0$ における2次セレマー群の平均サイズは正確に3であり、3次セレマー群の平均サイズは正確に4である。
• 族 $F_1$ における2次セレマー群の平均サイズは最大で6、3次セレマー群の平均サイズは正確に12である。
• 族 $F_1(2)$ における3次セレマー群の平均サイズは正確に4、族 $F_1(3)$ における2次セレマー群の平均サイズは最大で3である。
• 族 $F_2$ における2次セレマー群の平均サイズは最大で12であり、この族における平均ランクが有界であることを確認している。
• $F_0$、$F_1$、$F_1(2)$、$F_1(3)$、$F_2$ における平均ランクの上極限は、それぞれ $7/6$、$13/6$、$7/6$、$3/2$、$7/2$ 以下である。
• 各族において、漸近的に100%の曲線が自明な有理捩り部分群を持ち、$F_1$ および $F_2$ の指定された点は確率1で独立である。